۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی نهم · فصل ۸: حجم و مساحت

حل تمرین صفحه ۱۳۹ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۴ تمرین صفحهٔ ۱۳۹ کتاب ریاضی نهم (فصل ۸: حجم و مساحت)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس

علی با قسمتی از دایره‌ای به شعاع 10cm10\mathrm{cm}، مخروطی به قطر قاعدهٔ 12cm12\mathrm{cm} ساخته است. حجم این مخروط را به‌دست آورید.

[شکل]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: شعاع دایره‌ای که قسمتی از آن بریده شده، همان طول مولد مخروط است. پس مولد l=10 cml=10\ \mathrm{cm} است. قطر قاعده 12 cm12\ \mathrm{cm} است، پس شعاع قاعده R=6 cmR=6\ \mathrm{cm} است.

گام ۲: ارتفاع، شعاع قاعده و مولد مخروط مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند که مولد وتر آن است. با قضیهٔ فیثاغورس:

h=102−62=100−36=64=8 cmh=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}

گام ۳: حجم مخروط را حساب می‌کنیم:

V=13πR2h=13×π×36×8=96π cm3V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\times\pi\times 36\times 8=96\pi\ \mathrm{cm^3}

گام ۴: با π≈3/14\pi\approx 3/14 داریم V≈96×3/14=301/44 cm3V\approx 96\times 3/14=301/44\ \mathrm{cm^3}.

جواب نهایی

حجم مخروط 96π≈301/44 cm396\pi\approx 301/44\ \mathrm{cm^3} است (ارتفاع مخروط 8 cm8\ \mathrm{cm}).

تمرین ۱

حجم هرمی را به‌دست آورید که قاعدهٔ آن مستطیلی به ابعاد ۶ و ۵ سانتی‌متر و ارتفاع آن ۱۰ سانتی‌متر باشد.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: فرمول حجم هرم: V=13ShV = \frac{1}{3}Sh که در آن SS مساحت قاعده و hh ارتفاع هرم است.

گام ۲: قاعده مستطیلی به ابعاد ۶ و ۵ سانتی‌متر است، پس مساحت آن:

S=6×5=30 cm2S = 6 \times 5 = 30\ \mathrm{cm^2}

گام ۳: با قرار دادن در فرمول، با ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر:

V=13×30×10=100 cm3V = \frac{1}{3} \times 30 \times 10 = 100\ \mathrm{cm^3}

جواب نهایی

100 cm3100\ \mathrm{cm^3}

تمرین ۲

حجم هرمی با قاعدهٔ مربع را به‌دست آورید که ضلع قاعدهٔ آن 4cm4\mathrm{cm} باشد و وجه‌های جانبی آن مثلث‌های متساوی‌الساقینی به ساق‌های 8cm8\mathrm{cm} باشد.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مانند فعالیت ۱، وسط ضلع BCBC را MM و پای ارتفاع هرم را HH (مرکز مربع) می‌نامیم. در مثلث متساوی‌الساقین OBCOBC پاره‌خط OMOM میانه و ارتفاع است، پس مثلث OBMOBM در MM قائمه است. داریم OB=8OB=8 و BM=42=2BM=\frac{4}{2}=2.

گام ۲: با قضیهٔ فیثاغورس در مثلث OBMOBM:

OM2=OB2−BM2=64−4=60OM^2=OB^2-BM^2=64-4=60

گام ۳: مثلث OMHOMH در HH قائمه است و MHMH نصف ضلع مربع است، یعنی MH=2MH=2. پس در این مثلث:

OH2=OM2−MH2=60−4=56⇒h=OH=56=214 cmOH^2=OM^2-MH^2=60-4=56 \Rightarrow h=OH=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\ \mathrm{cm}

گام ۴: مساحت قاعده S=4×4=16 cm2S=4\times4=16\ \mathrm{cm^2} است. حجم هرم:

V=13Sh=13×16×214=32143≈39/9 cm3V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times16\times2\sqrt{14}=\frac{32\sqrt{14}}{3}\approx 39{/}9\ \mathrm{cm^3}

جواب نهایی

V=32143≈39/9 cm3V=\frac{32\sqrt{14}}{3}\approx 39{/}9\ \mathrm{cm^3} (با ارتفاع 214≈7/5 cm2\sqrt{14}\approx 7{/}5\ \mathrm{cm})

تمرین ۳

ظرفی به شکل مخروط با شعاع دهانهٔ 4cm4\mathrm{cm} و به ارتفاع 12cm12\mathrm{cm} را از آب پر می‌کنیم و در لیوانی استوانه‌ای‌شکل، که شعاع قاعدهٔ آن 6cm6\mathrm{cm} است، خالی می‌کنیم؛ آب تا چه ارتفاعی در لیوان بالا می‌آید؟

[شکل]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: حجم آب برابر حجم مخروط پر است:

V=13πR2h=13π×42×12=64π cm3V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi\times 4^2\times 12=64\pi\ \mathrm{cm^3}

گام ۲: وقتی آب را در لیوان استوانه‌ای می‌ریزیم، حجم آب تغییر نمی‌کند. اگر ارتفاع آب در لیوان hh باشد:

V=πR2h=π×62×h=36πhV=\pi R^2h=\pi\times 6^2\times h=36\pi h

گام ۳: دو حجم را برابر قرار می‌دهیم:

36πh=64π⇒h=6436=169 cm36\pi h=64\pi \Rightarrow h=\frac{64}{36}=\frac{16}{9}\ \mathrm{cm}

گام ۴: بررسی: 36π×169=64π36\pi\times\frac{16}{9}=64\pi است، پس جواب درست است. تقریباً h≈1/78 cmh\approx 1/78\ \mathrm{cm}.

جواب نهایی

3) ارتفاع آب در لیوان 169≈1/78\frac{16}{9}\approx 1/78 سانتی‌متر است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۳۹ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس