۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی نهم · فصل ۸: حجم و مساحت

حل تمرین صفحه ۱۳۷ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۱۳۷ کتاب ریاضی نهم (فصل ۸: حجم و مساحت)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

محاسبۀ حجم هرم

در شکل زیر، منشوری با دو قاعدۀ △ABC\triangle ABC و △DEF\triangle DEF را می‌بینید. نقطۀ C را به نقطه‌های E و D و نقطۀ B را به نقطۀ D وصل می‌کنیم؛ به این ترتیب منشور را به سه هرم، مطابق شکل تجزیه می‌کنیم. آیا این سه هرم را در این منشور تشخیص می‌دهید؟ با پاسخ دادن به سؤال‌های زیر، نشان دهید که این سه هرم، حجم‌های برابر دارد و از آنجا نتیجه بگیرید که حجم هر یک از آنها، یک سوم حجم منشور است.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: سه هرم عبارت‌اند از CDEFCDEF (قاعدهٔ DEFDEF و رأس CC)، CBEDCBED (قاعدهٔ BEDBED و رأس CC) و CBADCBAD (قاعدهٔ ABDABD و رأس CC). هرم CBADCBAD همان هرم DABCDABC است، یعنی قاعدهٔ ABCABC و رأس DD.

گام ۲: (۱) ABEDABED یک وجه جانبی منشور است. ضلع‌های مقابل آن موازی‌اند، پس متوازی‌الاضلاع است (در منشور قائم، مستطیل). قطر BDBD آن را به دو مثلث هم‌نهشت ABDABD و BDEBDE تقسیم می‌کند، پس این دو مثلث هم‌مساحت‌اند.

گام ۳: (۲) هرم‌های CBEDCBED و CBADCBAD رأس مشترک CC دارند. قاعده‌هایشان BEDBED و BADBAD در یک صفحه‌اند، پس ارتفاع هر دو برابر فاصلهٔ CC تا آن صفحه است. قاعده‌ها هم‌مساحت‌اند (طبق ۱) و ارتفاع‌ها برابرند، پس حجم‌ها برابرند.

گام ۴: (۳) DEFDEF و ABCABC دو قاعدهٔ منشورند و هم‌نهشت‌اند، پس هم‌مساحت‌اند.

گام ۵: (۴) هرم‌های CDEFCDEF و DABCDABC قاعده‌های هم‌مساحت دارند (طبق ۳). ارتفاع هر دو برابر فاصلهٔ دو قاعدهٔ منشور، یعنی ارتفاع منشور است. پس حجم‌هایشان برابر است.

گام ۶: (۵) از (۲) داریم VCBED=VCBADV_{CBED}=V_{CBAD}. چون CBADCBAD همان DABCDABC است، از (۴) داریم VDABC=VCDEFV_{DABC}=V_{CDEF}. پس هر سه هرم حجم برابر دارند و مجموع حجم‌هایشان حجم منشور است. اگر مساحت قاعده SS و ارتفاع hh باشد:

3V=Sh⇒V=13Sh3V=Sh\Rightarrow V=\frac13Sh

جواب نهایی

۱) ABEDABED متوازی‌الاضلاع است و قطر BDBD آن را به دو مثلث هم‌نهشت، پس هم‌مساحت، تقسیم می‌کند.
۲) قاعده‌های BEDBED و BADBAD هم‌مساحت‌اند و رأس مشترک CC ارتفاع برابر می‌دهد، پس حجم‌ها برابرند.
۳) DEFDEF و ABCABC دو قاعدهٔ هم‌نهشت منشورند، پس هم‌مساحت‌اند.
۴) قاعده‌ها هم‌مساحت و ارتفاع‌ها برابر با ارتفاع منشور است، پس حجم‌ها برابرند.
۵) سه هرم حجم برابر دارند و مجموعشان حجم منشور است، پس V=13ShV=\frac13Sh.

کار در کلاس

در هرم OABC، AC=6cmAC = 6\mathrm{cm} و BC=10cmBC = 10\mathrm{cm} و زاویهٔ ACB^=90∘\hat{ACB} = 90^\circ و OH ارتفاع هرم مساوی 5cm5\mathrm{cm} است. با کامل کردن عبارت‌های زیر حجم هرم را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: قاعدهٔ هرم مثلث ABCABC است که در رأس CC قائمه است؛ پس مساحت قاعده برابر است با:

S=12×AC×BC=12×6×10=30 cm2S=\frac{1}{2}\times AC\times BC=\frac{1}{2}\times 6\times 10=30\ \mathrm{cm}^2

گام ۲: ارتفاع هرم OH=5 cmOH=5\ \mathrm{cm} است.

گام ۳: با استفادهٔ از فرمول حجم هرم:

V=13Sh=13×30×5=50 cm3V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 30\times 5=50\ \mathrm{cm}^3

جواب نهایی

مساحت قاعده 30 cm230\ \mathrm{cm}^2 و حجم هرم 50 cm350\ \mathrm{cm}^3 است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۳۷ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس