حل تمرین صفحه ۱۲۹ ریاضی نهم

گام ۱: در (الف) مقسوم‌علیه را برحسب توان‌های نزولی می‌نویسیم: $2-x=-x+2$. مقسوم هم از قبل مرتب است.

گام ۲ (الف): جملهٔ اول مقسوم را بر جملهٔ اول مقسوم‌علیه تقسیم می‌کنیم: $\frac{6x^3}{-x}=-6x^2$. سپس $-6x^2(-x+2)=6x^3-12x^2$ را از مقسوم کم می‌کنیم و باقی می‌ماند $-7x^2+16x-4$.
بعد $\frac{-7x^2}{-x}=7x$ و $7x(-x+2)=-7x^2+14x$ است. با کم کردن آن باقی می‌ماند $2x-4$.
سپس $\frac{2x}{-x}=-2$ و $-2(-x+2)=2x-4$ است. با کم کردن آن باقی‌مانده صفر می‌شود.

گام ۳ (الف): بررسی:

گام ۴ (ب): مقسوم را مرتب می‌کنیم و جای توان $x^2$ را با صفر پر می‌کنیم: $-x^3+0x^2+8x-12$.
$\frac{-x^3}{x}=-x^2$ و $-x^2(x+6)=-x^3-6x^2$ است. با کم کردن آن باقی می‌ماند $6x^2+8x-12$.
بعد $\frac{6x^2}{x}=6x$ و $6x(x+6)=6x^2+36x$ است. با کم کردن آن باقی می‌ماند $-28x-12$.
سپس $\frac{-28x}{x}=-28$ و $-28(x+6)=-28x-168$ است. با کم کردن آن باقی می‌ماند $-12+168=156$.
درجهٔ ۱۵۶ از درجهٔ $x+6$ کمتر است، پس تقسیم تمام می‌شود.

گام ۵ (ب): رابطهٔ تقسیم:

گام ۱ (الف): ضرایب را جدا و توان‌های هر متغیر را با قاعدهٔ تقسیم توان‌ها ساده می‌کنیم:

گام ۲ (ب): هر جملهٔ صورت را جداگانه بر $-5y^2$ تقسیم می‌کنیم:

پس حاصل برابر $\dfrac{a^4}{5}-\dfrac{2a^3}{5y}-\dfrac{3x}{y}$ است.

گام ۳ (ج): مقسوم را کامل می‌نویسیم: $x^3+0x^2+0x-27$.

• $\frac{x^3}{x}=x^2$ و $x^2(x-2)=x^3-2x^2$. پس از تفریق، $2x^2+0x-27$ می‌ماند.
• $\frac{2x^2}{x}=2x$ و $2x(x-2)=2x^2-4x$. پس از تفریق، $4x-27$ می‌ماند.
• $\frac{4x}{x}=4$ و $4(x-2)=4x-8$. پس از تفریق، باقی‌مانده $-19$ می‌شود.

درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر است، پس تقسیم تمام است.

گام ۴ (د):

• $\frac{3y^2}{3y}=y$ و $y(3y-4)=3y^2-4y$. پس از تفریق، $-6y-24$ می‌ماند.
• $\frac{-6y}{3y}=-2$ و $-2(3y-4)=-6y+8$. پس از تفریق، باقی‌مانده $-24-8=-32$ می‌شود.

بررسی:

گام ۵ (هـ): تقسیم را مرحله‌به‌مرحله انجام می‌دهیم:

• $\frac{2x^5}{x}=2x^4$ و $2x^4(x+3)=2x^5+6x^4$. پس از تفریق، $-x^4-2x^3+\dots$ می‌ماند.
• $\frac{-x^4}{x}=-x^3$ و $-x^3(x+3)=-x^4-3x^3$. پس از تفریق، $x^3+2x^2+\dots$ می‌ماند.
• $\frac{x^3}{x}=x^2$ و $x^2(x+3)=x^3+3x^2$. پس از تفریق، $-x^2-2x+\dots$ می‌ماند.
• $\frac{-x^2}{x}=-x$ و $-x(x+3)=-x^2-3x$. پس از تفریق، $x+3$ می‌ماند.
• $\frac{x}{x}=1$ و $1\cdot(x+3)=x+3$. پس از تفریق، باقی‌مانده $0$ می‌شود.

خارج‌قسمت $2x^4-x^3+x^2-x+1$ است و تقسیم بخش‌پذیر است.

گام ۱: حجم مکعب مستطیل برابر است با حاصل‌ضرب طول، عرض و ارتفاع. پس

گام ۲: ابتدا حجم را بر ارتفاع $x$ تقسیم می‌کنیم:

گام ۳: حاصل را بر طول $(x+4)$ تقسیم می‌کنیم:

• $\frac{2x^2}{x}=2x$ و $2x(x+4)=2x^2+8x$. باقیمانده: $(2x^2+15x+28)-(2x^2+8x)=7x+28$
• $\frac{7x}{x}=7$ و $7(x+4)=7x+28$. باقیمانده: $0$

پس خارج‌قسمت $2x+7$ و باقیمانده صفر است.

گام ۴: بررسی:

که با حجم داده‌شده برابر است.

گام ۱: چندجمله‌ای را بر $4x+3$ تقسیم می‌کنیم. جملهٔ اول: $\frac{20x^3}{4x}=5x^2$. سپس $5x^2(4x+3)=20x^3+15x^2$ را از مقسوم کم می‌کنیم:

گام ۲: جملهٔ دوم: $\frac{8x^2}{4x}=2x$. سپس $2x(4x+3)=8x^2+6x$ را کم می‌کنیم:

گام ۳: جملهٔ سوم: $\frac{-16x}{4x}=-4$. سپس $-4(4x+3)=-16x-12$ را کم می‌کنیم:

پس خارج‌قسمت $5x^2+2x-4$ و باقی‌مانده $a+12$ است.

گام ۴: برای بخش‌پذیری باید باقی‌مانده صفر باشد:

گام ۵ (بررسی): با $a=-12$ داریم $(5x^2+2x-4)(4x+3)=20x^3+23x^2-10x-12$ که با مقسوم برابر است.

گام ۱: در هر تقسیم، جملهٔ اول مقسوم را بر جملهٔ اول مقسوم‌علیه تقسیم می‌کنیم. حاصل را در مقسوم‌علیه ضرب و از مقسوم کم می‌کنیم، و این کار را تا کمتر شدن درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه ادامه می‌دهیم.

گام ۲: تقسیم بر $x+3$:
$2x^2\div x=2x$ و $2x(x+3)=2x^2+6x$، پس باقی‌مانده $-15x+9$ می‌شود.
$-15x\div x=-15$ و $-15(x+3)=-15x-45$، پس باقی‌مانده $54$ می‌شود.

گام ۳: تقسیم بر $x-3$:
$2x(x-3)=2x^2-6x$، پس باقی‌مانده $-3x+9$ می‌شود.
$-3(x-3)=-3x+9$، پس باقی‌مانده $0$ می‌شود.

گام ۴: تقسیم بر $2x-3$:
$2x^2\div 2x=x$ و $x(2x-3)=2x^2-3x$، پس باقی‌مانده $-6x+9$ می‌شود.
$-6x\div 2x=-3$ و $-3(2x-3)=-6x+9$، پس باقی‌مانده $0$ می‌شود.

گام ۵: تقسیم بر $2x+3$:
$x(2x+3)=2x^2+3x$، پس باقی‌مانده $-12x+9$ می‌شود.
$-6(2x+3)=-12x-18$، پس باقی‌مانده $27$ می‌شود.

گام ۶: درستی هر چهار رابطه با ضرب و جمع کردن بررسی شد و همه برقرارند.