حل تمرین صفحه ۱۱۲ ریاضی نهم

گام ۱: از معادلهٔ اول $x$ را بر حسب $y$ می‌نویسیم:

گام ۲: این مقدار را به جای $x$ در معادلهٔ دوم می‌گذاریم:

گام ۳: معادلهٔ یک مجهولی را حل می‌کنیم:

گام ۴: $y=-1$ را در $x = 3y+7$ می‌گذاریم:

گام ۵: بررسی: در معادلهٔ اول $4 - 3(-1) = 7$ و در معادلهٔ دوم $2(4) - 7(-1) = 8 + 7 = 15$ برقرار است.

گام ۱: از معادلهٔ اول، $y$ را بر حسب $x$ می‌نویسیم:

گام ۲: مقدار $y$ را در معادلهٔ دوم جایگزین می‌کنیم:

گام ۳: معادلهٔ یک‌مجهولی را حل می‌کنیم:

گام ۴: $x$ را در $y=3x-6$ قرار می‌دهیم:

گام ۵: بررسی در معادلهٔ دوم: $2\times\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}+\frac{4}{3}=\frac{24}{3}=8$ ✓. در معادلهٔ اول: $10-4=6$ ✓.

گام ۱: در دستگاه (۱) پرانتزها را باز و ساده می‌کنیم:
$2(x-y)+3y=2x+y=4$
$3x-2(2x-y)=3x-4x+2y=-x+2y=7$

گام ۲: از معادلهٔ اول $y=4-2x$ را در معادلهٔ دوم جایگزین می‌کنیم:

گام ۳: درستی را بررسی می‌کنیم: $-\frac{1}{5}+\frac{36}{5}=7$ ✓ و $2\times\frac15+\frac{18}{5}=4$ ✓

گام ۴: در دستگاه (۲) معادلهٔ اول را در ۶ ضرب می‌کنیم تا مخرج‌ها حذف شوند:

گام ۵: از معادلهٔ دوم $x=4-y$ را جایگزین می‌کنیم:

بررسی: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac16$ ✓ و $2+2=4$ ✓

گام ۱: دو طرف تساوی توانی از ۲ و توانی از ۳ هستند. چون ۲ و ۳ اول و متفاوت‌اند، این دو توان فقط وقتی برابرند که هر دو برابر $1$ شوند، یعنی هر دو نما صفر باشند: $2^0=3^0=1$.

گام ۲: پس دستگاه زیر را تشکیل می‌دهیم:

گام ۳: با روش حذفی، دو معادله را جمع می‌کنیم: $3x=3$، پس $x=1$.

گام ۴: از $x+y=1$ نتیجه می‌شود $y=0$.

گام ۵: بررسی: $2^{2(1)-0-2}=2^0=1$ و $3^{1+0-1}=3^0=1$، پس تساوی برقرار است.

گام ۱: محل برخورد دو خط را با حل دستگاه پیدا می‌کنیم. با جمع دو معادله: $2x=2$ پس $x=1$.

گام ۲: با جایگذاری در $x+y=1$ داریم $1+y=1$ پس $y=0$. محل برخورد نقطهٔ $(1,0)$ است.

گام ۳: معادلهٔ خط با شیب $-\frac{2}{3}$ به شکل $y=-\frac{2}{3}x+b$ است. چون از نقطهٔ $(1,0)$ می‌گذرد:

گام ۴: پس معادلهٔ خط:

یا با ضرب در ۳: $2x+3y=2$.

بررسی: نقطهٔ $(1,0)$: $2(1)+3(0)=2$ ✓ و شیب $-\frac{2}{3}$ است ✓.

گام ۱: برای $a=1$ معادلهٔ خط $y=x+1$ است. برای $a=2$ معادلهٔ خط $y=2x+1$ و برای $a=-1$ معادلهٔ خط $y=-x+1$ است.

گام ۲: برای رسم هر خط دو نقطه کافی است. در هر سه خط، به ازای $x=0$ داریم $y=1$، پس نقطهٔ $(0,1)$ روی هر سه خط است.

گام ۳: نقطهٔ دوم هر خط:

• $y=x+1$: به ازای $x=1$ نتیجه می‌شود $y=2$، یعنی نقطهٔ $(1,2)$.
• $y=2x+1$: به ازای $x=1$ نتیجه می‌شود $y=3$، یعنی نقطهٔ $(1,3)$.
• $y=-x+1$: به ازای $x=1$ نتیجه می‌شود $y=0$، یعنی نقطهٔ $(1,0)$.

گام ۴: هر خط را از نقطهٔ $(0,1)$ و نقطهٔ دوم خودش رسم می‌کنیم. سه خط با شیب‌های متفاوت $1$ و $2$ و $-1$ در یک نقطه، یعنی $(0,1)$ روی محور $y$ها، یکدیگر را قطع می‌کنند.

گام ۵: ویژگی مشترک: همهٔ خط‌ها از نقطهٔ $(0,1)$ می‌گذرند، یعنی عرض از مبدأ همهٔ آن‌ها $1$ است و محور $y$ها را در یک نقطه قطع می‌کنند (فقط شیبشان فرق دارد).

گام ۱ (روش حذفی): معادلهٔ اول را در ۲ ضرب می‌کنیم تا ضریب $x$ در دو معادله برابر شود:

با کم کردن دو معادله از هم به دست می‌آید $0=9$. این تساوی نادرست است، پس دستگاه جواب ندارد.

گام ۲ (روش ترسیمی): دو معادله را برحسب $y$ می‌نویسیم:

برای رسم خط اول از نقطه‌های $(2,-1)$ و $(5,1)$ استفاده می‌کنیم. برای خط دوم از نقطه‌های $\left(0,-\frac{5}{6}\right)$ و $\left(\frac{5}{4},0\right)$ استفاده می‌کنیم. دو خط موازی‌اند و همدیگر را قطع نمی‌کنند.

گام ۳ (شیب): شیب هر دو خط $\frac{2}{3}$ است، اما عرض از مبدأ آن‌ها متفاوت است ($-\frac{7}{3}$ و $-\frac{5}{6}$). پس دو خط موازی و متمایزند.

گام ۴ (توضیح): جواب دستگاه همان نقطهٔ مشترک دو خط است. دو خط موازی و متمایز هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند، پس دستگاه جواب ندارد. این با نتیجهٔ $0=9$ در روش حذفی هم‌خوانی دارد.

گام ۱: سن علی را $x$ و سن پدرش را $y$ می‌گیریم. چون مجموع سن‌ها ۷۰ و اختلافشان ۲۶ سال است (پدر بزرگ‌تر است):

گام ۲: دو معادله را با روش حذفی جمع می‌کنیم تا $x$ حذف شود:

گام ۳: مقدار $y$ را در معادلهٔ اول قرار می‌دهیم:

گام ۴: بررسی: $22+48=70$ و $48-22=26$ ✓.