ریاضی نهم · فصل ۶: خط و معادله‌های خطی

حل تمرین صفحه ۱۱۱ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضی نهم (فصل ۶: خط و معادله‌های خطی)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

فعالیت، سؤال ۱

دستگاه معادله‌های خطی زیر را به‌روش دیگری نیز می‌توان حل کرد.

\begin{cases} 2x-3y=5 \\ y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \end{cases}

(راهنمایی: هدف این است که به یک معادلهٔ یک مجهولی برسیم؛ بنابراین مقدار $y$ را از معادلهٔ پایین در معادلهٔ بالا قرار دهید تا یک معادلهٔ یک مجهولی به‌دست آید؛ نام این روش، جایگزینی است).

$2x-3\,(\qquad\qquad)=5$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مقدار $y$ از معادلهٔ دوم را در معادلهٔ اول قرار می‌دهیم:

2x-3\left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)=5

گام ۲: پرانتز را باز می‌کنیم:

2x-x+2=5 \Rightarrow x+2=5

گام ۳: معادلهٔ یک‌مجهولی را حل می‌کنیم:

x=5-2=3

گام ۴: $x=3$ را در معادلهٔ $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$ می‌گذاریم:

y=\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

گام ۵: بررسی در معادلهٔ اول: $2(3)-3\left(\frac13\right)=6-1=5$ ✓

جواب نهایی

1) $x=3$ و $y=\frac{1}{3}$ ؛ جواب دستگاه: $\begin{bmatrix} 3 \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

فعالیت، سؤال ۲

«طول یک مستطیل از دو برابر عرض آن ۳ سانتی‌متر کمتر است. اگر محیط مستطیل ۲۴ سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را پیدا کنید.» این مسئله توسط سه دانش‌آموز حل شده است. روش‌های هر کدام را توضیح دهید و کامل کنید.

روش ۱:

$2x-3$ : طول مستطیل و $x$ : عرض مستطیل

محیط $= 2(x+2x-3)=24$

روش ۲:

$y$ : طول مستطیل و $x$ : عرض مستطیل

$$\begin{cases} y=2x-3 \\ 2(x+y)=24 \end{cases} \rightarrow \begin{aligned} &\begin{cases} 2x-y=3 \\ -\ 2x+2y=24 \end{cases} \\ &\hline -y-2y=3-24 \end{aligned}$$

روش ۳:

$y$ : طول مستطیل و $x$ : عرض مستطیل

\begin{cases} y=2x-3 \\ 2(x+y)=24 \end{cases} \rightarrow 2(x+2x-3)=24

بین روش‌های اول و سوم چه شباهتی هست؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱ (روش ۱): عرض را $x$ می‌گیریم، پس طول $2x-3$ است. نصف محیط ۱۲ است، پس:

2(x+2x-3)=24 \Rightarrow 3x-3=12 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5

طول: $2(5)-3=7$ .

گام ۲ (روش ۲): طول را $y$ و عرض را $x$ می‌گیریم. معادلهٔ اول $y=2x-3$ را به شکل $2x-y=3$ می‌نویسیم و معادلهٔ دوم را ساده می‌کنیم: $2x+2y=24$ . این روش حذفی است. دو معادله را از هم کم می‌کنیم تا $2x$ حذف شود:

(2x-y)-(2x+2y)=3-24 \Rightarrow -3y=-21 \Rightarrow y=7

گام ۳: $y=7$ را در $y=2x-3$ می‌گذاریم:

7=2x-3 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5

گام ۴ (روش ۳): این روش جایگزینی است. به‌جای $y$ در معادلهٔ دوم، $2x-3$ را می‌گذاریم:

2(x+2x-3)=24

حل آن مانند گام ۱ است و $x=5$ و $y=7$ به‌دست می‌آید.

گام ۵ (شباهت روش‌های اول و سوم): در هر دو روش طول را بر حسب عرض ( $2x-3$ ) نوشته‌ایم و در فرمول محیط قرار داده‌ایم. معادلهٔ هر دو $2(x+2x-3)=24$ است. تفاوت فقط این است که در روش اول از ابتدا یک مجهول داریم و در روش سوم با دو مجهول شروع می‌کنیم.

گام ۶ (بررسی): $2(5+7)=24$ و $7=2\times5-3$ ، پس جواب درست است.

جواب نهایی

2) عرض مستطیل ۵ سانتی‌متر و طول آن ۷ سانتی‌متر است. روش ۱ و ۳ هر دو با جایگزین‌کردن طول بر حسب عرض به معادلهٔ $2(x+2x-3)=24$ می‌رسند، ولی روش ۲ حذفی است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۱۱ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس