حل تمرین صفحه ۱۰۹ ریاضی نهم

گام ۱: برای رسم هر خط، دو یا سه نقطهٔ آن را پیدا می‌کنیم. در دستگاه اول، خط $x-y=1$ یعنی $y=x-1$ از نقطه‌های $(0,-1)$ و $(1,0)$ و $(2,1)$ می‌گذرد. خط $x+y=3$ از نقطه‌های $(0,3)$ و $(3,0)$ و $(2,1)$ می‌گذرد.

گام ۲: هر دو خط را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. این دو خط در نقطهٔ $(2,1)$ یکدیگر را قطع می‌کنند، پس جواب مشترک دستگاه اول $x=2$ و $y=1$ است.

هر دو معادله برقرارند.

گام ۳: در دستگاه دوم، خط $2x-y=3$ یعنی $y=2x-3$ از نقطه‌های $(0,-3)$ و $(2,1)$ و $(1/5\,,0)$ می‌گذرد، یعنی $(1/5,0)$ را به‌صورت $(1.5,0)$ در نظر می‌گیریم. خط $x+2y=3$ از نقطه‌های $(3,0)$ و $(1,1)$ و $(-1,2)$ می‌گذرد.

گام ۴: این دو خط را هم رسم می‌کنیم. محل برخورد آن‌ها در نمودار تقریباً $(1/8\,,\,0/6)$ است. برای دقیق‌تر شدن، از $y=2x-3$ در معادلهٔ دوم جای‌گذاری می‌کنیم:

گام ۵: جواب را بررسی می‌کنیم: $2(1/8)-0/6=3$ و $1/8+2(0/6)=3$. هر دو معادله برقرارند.

گام ۱: برای رسم خط $2x-3y=4$ دو نقطه از آن را پیدا می‌کنیم. اگر $y=0$ باشد $x=2$ و اگر $x=5$ باشد $y=2$. پس نقطه‌های $(2,0)$ و $(5,2)$ روی این خط هستند. آن‌ها را وصل می‌کنیم.

گام ۲: برای خط $4x-6y=8$ همین نقطه‌ها را امتحان می‌کنیم. $4(2)-6(0)=8$ درست است و $4(5)-6(2)=20-12=8$ هم درست است. پس این دو نقطه روی خط دوم هم هستند و خط دوم دقیقاً بر خط اول منطبق می‌شود.

گام ۳: الف) خیر، خط جدیدی به‌دست نیامد. هر دو معادله یک خط را نشان می‌دهند.

گام ۴: ب) اگر تمام ضریب‌های عددی یک معادلهٔ خط را در یک عدد (غیرصفر) ضرب کنیم، خط تغییر نمی‌کند و همان خط به‌دست می‌آید.

گام ۵: ج) بله. دو خط بر هم منطبق‌اند، پس هر نقطه از خط، جواب مشترک هر دو معادله است. چون روی یک خط بی‌شمار نقطه وجود دارد، دستگاه بی‌شمار جواب دارد.