حل تمرین صفحه ۱۰۶ ریاضی نهم

گام ۱: خط $y=-3$ خطی افقی (موازی محور x‌ها) است که همهٔ نقطه‌های آن عرض $-3$ دارند.

گام ۲: خط $x=2$ خطی قائم (موازی محور y‌ها) است که همهٔ نقطه‌های آن طول $2$ دارند.

گام ۳: نقطهٔ برخورد باید روی هر دو خط باشد، پس هم طول آن $2$ است و هم عرض آن $-3$.

گام ۱: خطی که موازی محور $x$ها باشد، افقی است و همهٔ نقطه‌های آن عرض (y) یکسان دارند؛ پس معادلهٔ آن به شکل $y=k$ است (شیب صفر).

گام ۲: خط باید از نقطهٔ $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ بگذرد، پس عرض همهٔ نقطه‌های آن برابر عرض این نقطه یعنی ۱ است.

گام ۳: معادلهٔ خط: $y=1$. بررسی: نقطهٔ $(2,1)$ در آن صدق می‌کند و خط افقی است. (در شکل کلی $ax+by=c$: $a=0,\ b=1,\ c=1$)

گام ۱: خط $y=3$ خطی افقی (موازی محور $x$ها) است که همهٔ نقطه‌هایش عرض ۳ دارند؛ مثلاً از نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$ می‌گذرد. این خط را در دستگاه مختصات رسم می‌کنیم.

گام ۲: خط $x=-2$ خطی عمودی (موازی محور $y$ها) است که همهٔ نقطه‌هایش طول $-2$ دارند؛ مثلاً از نقطه‌های $\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$ می‌گذرد. این خط را هم در همان دستگاه رسم می‌کنیم.

گام ۳: نقطهٔ برخورد باید هم $y=3$ و هم $x=-2$ را برآورده کند، پس طول آن $-2$ و عرض آن $3$ است:

گام ۴: یکی از خط‌ها افقی و دیگری عمودی است، پس بر هم عمودند و زاویهٔ بین آن‌ها $90^\circ$ است.

گام ۱: محور طول‌ها (محور $x$ها) خطی افقی است که همهٔ نقطه‌های روی آن عرضشان صفر است، مانند $\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}$. پس معادلهٔ آن این است:

گام ۲: محور عرض‌ها (محور $y$ها) خطی قائم است که همهٔ نقطه‌های روی آن طولشان صفر است، مانند $\begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$. پس معادلهٔ آن این است:

گام ۳: محل برخورد دو محور را با حل هم‌زمان $y=0$ و $x=0$ به‌دست می‌آوریم: طول و عرض هر دو صفرند، پس محل برخورد مبدأ مختصات است:

گام ۱: هر معادله را به شکل $y=mx+k$ می‌نویسیم. ضریب $x$ شیب و عدد ثابت عرض از مبدأ است.

گام ۲: خط اول:

پس شیب $\frac{2}{3}$ و عرض از مبدأ $2$ است.

گام ۳: خط دوم:

پس شیب $2$ و عرض از مبدأ $-4$ است.

گام ۴: خط سوم:

پس شیب $2$ و عرض از مبدأ $-3$ است.

گام ۵: برای رسم هر خط، دو نقطهٔ آن را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم و با خط‌کش به هم وصل می‌کنیم:

• خط اول: نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$. بررسی: $3(4)-2(3)=6$.
• خط دوم: نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\-4\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}$. بررسی: $4(2)-0=8$.
• خط سوم: نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\-3\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$. بررسی: $2(2)-1=3$.

خط دوم و سوم شیب برابر ($2$) دارند، پس با هم موازی‌اند.