حل تمرین صفحه ۱۰۲ ریاضی نهم

گام ۱: برای رسم هر خط، علاوه بر مبدأ $(0,0)$ یک نقطهٔ دیگر پیدا می‌کنیم:

• الف) $y=\frac12x$: نقطهٔ $(2,1)$
• ب) $y=x$: نقطهٔ $(1,1)$
• ج) $y=3x$: نقطهٔ $(1,3)$
• د) $y=-x$: نقطهٔ $(1,-1)$
• هـ) $y=-2x$: نقطهٔ $(1,-2)$

هر خط را با یک رنگ از مبدأ و نقطهٔ دوم آن رسم می‌کنیم.

گام ۲: همهٔ این خط‌ها از مبدأ می‌گذرند. تفاوتشان در میزان تندی یا کندی و جهت شیب‌شان است، یعنی زاویه‌ای که با قسمت مثبت محور $x$ها می‌سازند.

گام ۳: خط‌های الف، ب و ج ضریب $x$ مثبت دارند و زاویه‌شان با جهت مثبت محور $x$ها تند (حاده) است:

• $y=\frac12x$ زاویه‌ای کوچک‌تر از $45^\circ$ دارد (حدود $27^\circ$).
• $y=x$ زاویه $45^\circ$ دارد (مانند نمونه).
• $y=3x$ زاویه‌ای بزرگ‌تر از $45^\circ$ دارد (حدود $72^\circ$).

با بزرگ‌تر شدن ضریب $x$، زاویهٔ خط بزرگ‌تر و خط تندتر می‌شود.

گام ۴: خط‌های د و هـ ضریب $x$ منفی دارند و از ناحیهٔ دوم و چهارم می‌گذرند. زاویهٔ آن‌ها با جهت مثبت محور $x$ها باز (منفرجه) و بزرگ‌تر از $90^\circ$ است: $y=-x$ حدود $135^\circ$ و $y=-2x$ حدود $117^\circ$.

گام ۱: برای رسم هر خط دو نقطه پیدا می‌کنیم.

• برای $y=2x-1$: نقاط $(0,-1)$ و $(1,1)$
• برای $y=2x$: نقاط $(0,0)$ و $(1,2)$
• برای $y=2x+3$: نقاط $(0,3)$ و $(-1,1)$

هر خط را با یک رنگ از دو نقطهٔ خودش رسم می‌کنیم.

گام ۲: تفاوت خط‌ها: شیب هر سه خط برابر ۲ است، ولی عدد ثابت (عرض از مبدأ) متفاوت است. پس خط‌ها در محل برخورد با محور عرض‌ها فرق دارند؛ یکی محور $y$ را در $-1$، دیگری در $0$ و سومی در $3$ قطع می‌کند.

گام ۳: زاویهٔ هر سه خط با جهت مثبت محور $x$ها یکسان است (چون شیب برابر دارند و زاویه فقط به شیب بستگی دارد). به همین دلیل خط‌ها موازی‌اند؛ زیرا خط‌هایی که با یک خط (محور $x$ها) زاویه‌های برابر می‌سازند، موازی‌اند.

گام ۴: رابطهٔ محل برخورد با محور عرض‌ها و عدد ثابت: محل برخورد هر خط با محور $y$ها همان عدد ثابت معادله است: