حل تمرین صفحه ۱۰ ریاضی نهم

گام ۱: الف) عددهای صحیح فرد، یعنی عددهایی که بر ۲ بخش‌پذیر نیستند. این عددها هم مثبت‌اند و هم منفی، پس مجموعه از دو طرف نامتناهی است:

این مجموعه را می‌توان به صورت $\{2k-1 \mid k\in\mathbb{Z}\}$ هم نوشت.

گام ۲: ب) $x$ باید عددی صحیح باشد که از $-5$ کوچک‌تر نیست (برابر $-5$ هم می‌تواند باشد) و از $5$ کوچک‌تر است (خود $5$ عضو نیست). پس:

گام ۳: ج) به‌جای $k$ چند عدد صحیح در $3k+2$ قرار می‌دهیم:

چون $k$ عددی صحیح است، مجموعه در هر دو جهت ادامه دارد:

گام ۱: عضوهای $B$ را پیدا می‌کنیم؛ یعنی عضوهایی از $A$ که $x^2 \le 2$ دارند:
$(-2)^2=4>2$ نیست، $(-1)^2=1\le 2$ هست، $0^2=0\le 2$ هست، $1^2=1\le 2$ هست، $2^2=4>2$ نیست.
پس $B=\{-1,0,1\}$.

گام ۲: عضوهای $C$ عددهای $A$ هستند که بین $-1$ و $1$ (با خود آنها) قرار دارند:
$C=\{-1,0,1\}$.

گام ۳: عضوهای $D$ عددهای $A$ هستند که $x^4=1$ دارند:
$(-2)^4=16$ و $2^4=16$ نیستند، $0^4=0$ نیست، اما $(-1)^4=1$ و $1^4=1$ هستند.
پس $D=\{-1,1\}$.

گام ۴: مقایسه: $B$ و $C$ عضوهای یکسان دارند، ولی $D$ عدد $0$ را ندارد، پس با آنها برابر نیست.

گام ۱: سه مجموعهٔ دلخواه می‌سازیم که شرط‌های $A \subseteq B$ و $B \subseteq C$ برقرار باشد؛ برای مثال:

گام ۲: بررسی $A \subseteq B$: هر عضو $A$ (یعنی ۱ و ۲) در $B$ هست. بررسی $B \subseteq C$: هر عضو $B$ (یعنی ۱، ۲، ۳ و ۴) در $C$ هست.

گام ۳: بررسی $A \subseteq C$: عضوهای $A$ یعنی ۱ و ۲ در $C$ هم هستند، پس $A \subseteq C$.

گام ۴: در حالت کلی: اگر $x$ عضو دلخواهی از $A$ باشد، چون $A \subseteq B$ پس $x \in B$؛ و چون $B \subseteq C$ پس $x \in C$. بنابراین هر عضو $A$ در $C$ است و همیشه $A \subseteq C$ برقرار است. (مثال‌های دیگر هم ممکن است؛ مثلاً $\mathbb{N} \subseteq W \subseteq \mathbb{Z}$.)

الف)

گام ۱: ابتدا مجموعه را با عضوهایش می‌نویسیم. معادلهٔ $2x+1=3$ را حل می‌کنیم: $2x=2$، پس $x=1$. چون $1\in\mathbb{N}$، داریم $A=\{1\}$.

گام ۲: مجموعهٔ یک‌عضوی $2^1=2$ زیرمجموعه دارد: $\varnothing$ و $\{1\}$.

ب)

گام ۳: به‌جای $x$ مقدارهای $0$ و $2$ و $3$ را در $2x$ قرار می‌دهیم: $2(0)=0$ و $2(2)=4$ و $2(3)=6$. پس $B=\{0,4,6\}$.

گام ۴: مجموعهٔ سه‌عضوی $2^3=8$ زیرمجموعه دارد.

• زیرمجموعهٔ بدون عضو: $\varnothing$
• زیرمجموعه‌های یک‌عضوی: $\{0\}$، $\{4\}$، $\{6\}$
• زیرمجموعه‌های دوعضوی: $\{0,4\}$، $\{0,6\}$، $\{4,6\}$
• زیرمجموعهٔ سه‌عضوی: $\{0,4,6\}$

گام ۱: در نمودار چهار مجموعه تودرتو هستند. هر مجموعه‌ای که داخل دیگری است، زیرمجموعهٔ آن است. پس باید ببینیم کدام مجموعه در کدام قرار می‌گیرد.

گام ۲: هر عدد طبیعی حسابی است: $\mathbb{N}\subseteq W$. هر عدد حسابی صحیح است، چون $W=\{0,1,2,\dots\}$ و $\mathbb{Z}$ شامل همهٔ آنهاست: $W\subseteq\mathbb{Z}$. هر عدد صحیح گویاست، چون $a=\frac{a}{1}$: $\mathbb{Z}\subseteq Q$.

گام ۳: نام‌گذاری از داخل به بیرون:

• داخلی‌ترین مجموعه: $\mathbb{N}$
• دومین مجموعه (همان که در شکل با $W$ نوشته شده): $W$
• سومین مجموعه: $\mathbb{Z}$
• بیرونی‌ترین مجموعه: $Q$

گام ۴: مقایسه با علامت $\subseteq$:

بنابراین $\mathbb{N}\subseteq Q$، $W\subseteq Q$ و $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$ هم برقرار است.

گام ۱: الف) نادرست. عدد گویا مانند $\frac{1}{2}$ عدد حسابی نیست، چون حسابی‌ها $W=\{0,1,2,3,\dots\}$ هستند و $\frac{1}{2}$ در آن‌ها نیست. (همچنین $-3=\frac{-3}{1}$ گویاست ولی حسابی نیست.)

گام ۲: ب) درست. هر عدد حسابی مانند $a$ را می‌توان به شکل $\frac{a}{1}$ نوشت که $a$ و $1$ صحیح‌اند و $1\neq 0$؛ پس گویاست. یعنی $W\subseteq \mathbb{Z}\subseteq Q$.

گام ۳: ج) درست. برای هر عدد صحیح $a$ داریم $a=\frac{a}{1}$ که صورت و مخرج آن صحیح‌اند و مخرج صفر نیست؛ پس $\mathbb{Z}\subseteq Q$.

گام ۴: د) درست. بعضی از عددهای گویا مانند $\frac{4}{2}=2$ یا $\frac{6}{3}=2$ یا $5=\frac{5}{1}$ عدد صحیح‌اند. (البته همهٔ عددهای گویا صحیح نیستند، مثلاً $\frac{1}{2}$.)