حل تمرین صفحه ۹۰ ریاضی دهم

گام ۱: دمای هوا بین حداقل و حداکثر است، پس:

گام ۲: به جای $C$ مقدار $\frac{5}{9}(F-32)$ را قرار می‌دهیم:

گام ۳: سه طرف نامعادله را در $\frac{9}{5}$ ضرب می‌کنیم. این عدد مثبت است، پس جهت نامساوی‌ها عوض نمی‌شود:

گام ۴: به هر سه طرف $32$ را اضافه می‌کنیم:

گام ۵: بررسی: برای $C=15$ داریم $F=15\times\frac{9}{5}+32=59$ و برای $C=25$ داریم $F=25\times\frac{9}{5}+32=77$. هر دو درست‌اند.

گام ۱: ریشه‌های عبارت را پیدا می‌کنیم:

پس سهمی محور $x$ها را در نقطه‌های $-1$ و $3$ قطع می‌کند. چون ضریب $x^2$ مثبت است، دهانهٔ سهمی رو به بالاست.

گام ۲ (الف): در شکل، قسمتی از سهمی که پایین محور $x$هاست، بین دو نقطهٔ برخورد $-1$ و $3$ قرار دارد. پس برای $-1<x<3$ نمودار پایین محور $x$هاست.

گام ۳ (ب): جدول تعیین علامت:

علامت $y$ فقط وقتی منفی است که $-1<x<3$ باشد.

گام ۴ (پ): حل نامعادلهٔ $x^2-2x-3<0$ یعنی یافتن $x$هایی که به ازای آن‌ها $y<0$ است.

• از نظر هندسی، $y<0$ یعنی نقطهٔ سهمی پایین محور $x$ها باشد. این همان مجموعهٔ قسمت (الف) است.
• از نظر جبری، $y<0$ یعنی علامت $y$ منفی باشد. این همان مجموعهٔ قسمت (ب) است.

هر دو روش مجموعهٔ $(-1,3)$ را می‌دهند، پس هر کدام برای حل این نامعادله قابل استفاده است.

گام ۱: الف) روش هندسی. نمودار سهمی $y=x^2-4$ را در نظر می‌گیریم؛ محور $x$ها را در $x=-2$ و $x=2$ قطع می‌کند و دهانه‌اش رو به بالاست. نامعادلهٔ $x^2\le 4$ یعنی $x^2-4\le 0$؛ یعنی بخشی از نمودار که روی محور $x$ها یا پایین آن است، که بین دو ریشه قرار دارد: $-2\le x\le 2$.

گام ۲: الف) جدول تعیین علامت. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ریشه‌ها $\pm2$ دارد:

علامت منفی یا صفر بین دو ریشه است، پس $[-2,2]$.

گام ۳: ب) ریشه‌ها. $3x^2-x-2=0$: $\Delta=1+24=25$ و

پس $3x^2-x-2=3(x-1)\left(x+\frac23\right)$.

گام ۴: ب) روش هندسی. سهمی $y=3x^2-x-2$ رو به بالاست ($a=3>0$) و محور $x$ها را در $-\frac23$ و $1$ قطع می‌کند. نامعادلهٔ $y\ge0$ یعنی قسمتی از نمودار که روی محور یا بالای آن است، یعنی بیرون دو ریشه (و خود ریشه‌ها): $x\le-\frac23$ یا $x\ge1$.

گام ۵: ب) جدول تعیین علامت.

علامت مثبت یا صفر در بیرون ریشه‌هاست؛ هر دو روش یک جواب می‌دهند.