ریاضی ۱ · فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها

حل تمرین صفحه ۸۹ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۸۹ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت، سؤال ۱

فرض کنید $x$ متغیری باشد که همزمان در دو نامعادلهٔ زیر صدق می‌کند:

-2 < 3x - 1 \text{ , } 3x - 1 \le 8

هر کدام از نامعادله‌های بالا را حل کنید و مجموعه جواب‌های به‌دست آمده را روی محور مقابل آنها رسم کنید.

$-2 < 3x - 1 \Rightarrow \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$
[شکل: محور اعداد حقیقی]

$3x - 1 \le 8 \Rightarrow \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$
[شکل: محور اعداد حقیقی]

به‌خاطر وجود «و» بین دو نامعادله، اشتراک مجموعه جواب‌های به‌دست آمده را مشخص و آن را روی محور مقابل رسم کنید.
[شکل: محور اعداد حقیقی]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: نامعادلهٔ اول را حل می‌کنیم. به دو طرف $+1$ اضافه می‌کنیم:

-2 < 3x - 1 \Rightarrow -1 < 3x

سپس دو طرف را در $\frac{1}{3}$ ضرب می‌کنیم (عدد مثبت است، جهت نامساوی عوض نمی‌شود):

x > -\frac{1}{3}

مجموعه جواب: $\left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$ .

گام ۲: روی محور، نقطهٔ $-\frac{1}{3}$ را با دایرهٔ توخالی (چون برابری ندارد) مشخص می‌کنیم و از آن به سمت راست (به سمت $+\infty$ ) پررنگ می‌کنیم.

گام ۳: نامعادلهٔ دوم را حل می‌کنیم. به دو طرف $+1$ اضافه می‌کنیم:

3x - 1 \le 8 \Rightarrow 3x \le 9

دو طرف را در $\frac{1}{3}$ ضرب می‌کنیم:

x \le 3

مجموعه جواب: $(-\infty, 3]$ .

گام ۴: روی محور، نقطهٔ $3$ را با دایرهٔ توپر (چون برابری دارد) مشخص می‌کنیم و از آن به سمت چپ (به سمت $-\infty$ ) پررنگ می‌کنیم.

گام ۵: به‌خاطر «و»، اشتراک دو مجموعه جواب را می‌گیریم:

\left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) \cap (-\infty, 3] = \left(-\frac{1}{3}, 3\right]

روی محور، بین $-\frac{1}{3}$ (دایرهٔ توخالی) و $3$ (دایرهٔ توپر) را پررنگ می‌کنیم.

جواب نهایی

1) $x > -\frac{1}{3}$ ، $x \le 3$ و اشتراک: $\left(-\frac{1}{3}, 3\right]$

فعالیت، سؤال ۲

می‌توانیم دو نامعادلهٔ فوق را ترکیب کنیم و به شکل یک نامعادلهٔ دوگانه به‌صورت $-2 < 3x - 1 \le 8$ بنویسیم. از خواص جمع و ضرب نامساوی‌ها استفاده کنید و این نامعادلهٔ دوگانه را حل کنید:

$-2 < 3x - 1 \le 8$ $\qquad$ به دو نامعادله $+1$ را اضافه می‌کنیم.
$\dots < 3x \le 9$ $\qquad$ دو نامعادله را در $\frac{1}{3}$ ضرب می‌کنیم.
$\dots < x \le \dots$

جواب به‌دست آمده از این روش را با جوابی که در قسمت بالا به آن رسیده‌اید، مقایسه کنید.
نامعادلهٔ دوگانهٔ فوق را به‌صورت دستگاه نامعادله‌های زیر نیز نشان می‌دهیم:

\begin{cases} 3x - 1 > -2 \\ 3x - 1 \le 8 \end{cases}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: نامعادلهٔ دوگانه را می‌نویسیم:

-2 < 3x - 1 \le 8

گام ۲: به هر سه طرف نامعادله $+1$ اضافه می‌کنیم (خاصیت جمع):

-2+1 < 3x - 1 + 1 \le 8+1 \Rightarrow -1 < 3x \le 9

گام ۳: هر سه طرف را در $\frac{1}{3}$ ضرب می‌کنیم. چون $\frac{1}{3} > 0$ است، جهت نامساوی‌ها تغییر نمی‌کند:

-\frac{1}{3} < x \le 3

گام ۴: مقایسه با قسمت ۱: از $-2 < 3x - 1$ نتیجه می‌شود $x > -\frac{1}{3}$ و از $3x - 1 \le 8$ نتیجه می‌شود $x \le 3$ . اشتراک این دو مجموعه همان $\left(-\frac{1}{3}, 3\right]$ است؛ پس هر دو روش جواب یکسان می‌دهند.

جواب نهایی

جاهای خالی: $-1 < 3x \le 9$ و $-\frac{1}{3} < x \le 3$ ؛ مجموعه جواب $\left(-\frac{1}{3}, 3\right]$ است و با جواب قسمت ۱ برابر است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۸۹ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس