ریاضی ۱ · فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها

حل تمرین صفحه ۸۸ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۸۸ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

چندجمله‌ای $y = -x^2 + x + 2$ را با محاسبهٔ ریشه‌ها، در یک جدول تعیین علامت کنید؛ سپس با رسم آن، صحت علامت‌های به‌دست آمده در جدول را با نمودار، بررسی کنید.

[شکل: دستگاه مختصات خالی برای رسم نمودار]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ریشه‌ها را پیدا می‌کنیم. در اینجا $a=-1$ ، $b=1$ و $c=2$ است:

\Delta = 1^2 - 4(-1)(2) = 1+8 = 9

x_1=\frac{-1+3}{-2}=-1 \qquad , \qquad x_2=\frac{-1-3}{-2}=2

گام ۲: چون $a=-1<0$ است، علامت عبارت بیرون از ریشه‌ها هم‌علامت $a$ یعنی منفی و بین دو ریشه مخالف $a$ یعنی مثبت است:

$x$		$-1$		$2$
$y$	$-$	$\circ$	$+$	$\circ$	$-$

گام ۳: برای رسم نمودار چند نقطهٔ مهم را پیدا می‌کنیم. محل برخورد با محور $x$ ها نقاط $(-1,0)$ و $(2,0)$ است و محل برخورد با محور $y$ ها نقطهٔ $(0,2)$ است. رأس سهمی در $x=\frac{-b}{2a}=\frac12$ قرار دارد و $y=\frac94$ است، پس رأس $\left(\frac12,\frac94\right)$ است. نقاط دیگر $(1,2)$ و $(3,-4)$ و $(-2,-4)$ هستند.

گام ۴: چون $a<0$ است، سهمی رو به پایین باز می‌شود. این سهمی برای $-1<x<2$ بالای محور $x$ هاست، پس $y>0$ است. برای $x<-1$ و $x>2$ پایین محور $x$ هاست، پس $y<0$ است. این نتیجه با جدول یکسان است.

جواب نهایی

1) ریشه‌ها $x=-1$ و $x=2$ هستند. $y$ برای $-1<x<2$ مثبت و برای $x<-1$ یا $x>2$ منفی است، و نمودار هم همین را نشان می‌دهد.

کار در کلاس، سؤال ۲

عبارت‌های زیر را تعیین علامت کنید.
الف) $A = (x^2 - 9)(3x - 1)$
ب) $B = \frac{-x^2 + 6x - 9}{x^2 + x + 3}$

جواب گام‌به‌گام

الف)

گام ۱: عبارت را تجزیه می‌کنیم: $A=(x-3)(x+3)(3x-1)$ . ریشه‌ها $x=-3$ و $x=\frac13$ و $x=3$ هستند.

گام ۲: هر عامل را تعیین علامت می‌کنیم و در جدول می‌نویسیم:

$x$		$-3$		$\frac13$		$3$
$x-3$	$-$		$-$		$-$	$\circ$	$+$
$x+3$	$-$	$\circ$	$+$		$+$		$+$
$3x-1$	$-$		$-$	$\circ$	$+$		$+$
$A$	$-$	$\circ$	$+$	$\circ$	$-$	$\circ$	$+$

ب)

گام ۳: صورت: $-x^2+6x-9=-(x-3)^2$ . این عبارت در $x=3$ صفر است و برای $x\ne 3$ منفی است، چون $(x-3)^2>0$ .

گام ۴: مخرج: $\Delta=1^2-4(1)(3)=-11<0$ و $a=1>0$ . پس $x^2+x+3$ ریشه ندارد و به ازای همهٔ $x$ ها مثبت است. مخرج هیچ‌گاه صفر نمی‌شود، پس $B$ برای همهٔ $x$ ها تعریف شده است.

گام ۵: جدول تعیین علامت:

$x$		$3$
$-x^2+6x-9$	$-$	$\circ$	$-$
$x^2+x+3$	$+$		$+$
$B$	$-$	$\circ$	$-$

جواب نهایی

الف) $A=0$ برای $x=-3,\ \frac13,\ 3$ ؛ $A>0$ برای $-3<x<\frac13$ و $x>3$ ؛ $A<0$ برای $x<-3$ و $\frac13<x<3$ .
ب) $B=0$ فقط در $x=3$ و برای همهٔ $x\neq3$ منفی است ( $B\le0$ و همه‌جا تعریف شده).

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۸۸ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس