حل تمرین صفحه ۸۶ ریاضی دهم (گام به گام)

حل تمرین صفحه ۸۶ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۱ تمرین صفحهٔ ۸۶ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

۱ فرض کنید که معادلهٔ $P(x) = 0$ ، دو ریشهٔ متمایز $x_1$ و $x_2$ ( $x_1 < x_2$ ) داشته و به شکل $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ تجزیه شده باشد. با تکمیل جدول زیر، علامت $P(x)$ را برای $x$ های مختلف تعیین کنید.

$x$		$x_1$		$x_2$
$x - x_1$	$-$	$\circ$	$+$		$+$
$x - x_2$	$\dots$		$\dots$	$\circ$	$\dots$
$(x - x_1)(x - x_2)$	$\dots$	$\circ$	$\dots$	$\circ$	$\dots$
$P(x)$	$\dots$	$\circ$	مخالف علامت $a$	$\circ$	$\dots$

۲ اگر معادلهٔ $P(x) = 0$ ریشهٔ مضاعف برابر با $x_1$ داشته باشد، می‌توانیم $P(x)$ را به شکل $P(x) = a(x - x_1)^2$ بنویسیم. با تکمیل جدول زیر، علامت $P(x)$ را برای $x$ های مختلف تعیین کنید.

$x$		$x_1$
$(x - x_1)^2$	$\dots$	$\circ$	$\dots$
$P(x)$	$\dots$	$\circ$	$\dots$

۳ اکنون فرض کنید $\Delta < 0$ باشد، در این صورت معادلهٔ $P(x) = 0$ ریشهٔ حقیقی ندارد. با توجه به اینکه $P(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$ علامت $P(x)$ را در جدول زیر تعیین کنید.

$x$	برای هر $x \in \mathbb{R}$
$P(x)$	$\dots$

۴ با توجه به قسمت بالا، مشخص کنید اگر $P(x)$ برای هر $x \in \mathbb{R}$ ، مثبت باشد، $a$ و $\Delta$ چه علامتی دارند؟ برای وقتی که $P(x)$ منفی است، نیز علامت $a$ و $\Delta$ را تعیین کنید.

$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در جدول اول، چون $x_1<x_2$ است، علامت $x-x_2$ را بررسی می‌کنیم. برای $x<x_2$ منفی است، در $x_2$ صفر می‌شود و برای $x>x_2$ مثبت است. سپس علامت‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. در آخر، علامت حاصل را در $a$ ضرب می‌کنیم:

$x$	$x<x_1$	$x_1$	$x_1<x<x_2$	$x_2$	$x>x_2$
$x-x_1$	$-$	$\circ$	$+$		$+$
$x-x_2$	$-$		$-$	$\circ$	$+$
$(x-x_1)(x-x_2)$	$+$	$\circ$	$-$	$\circ$	$+$
$P(x)$	هم‌علامت $a$	$\circ$	مخالف علامت $a$	$\circ$	هم‌علامت $a$

گام ۲: در ریشهٔ مضاعف، $(x-x_1)^2$ برای هر $x\neq x_1$ مثبت و در $x_1$ صفر است. پس $P(x)=a(x-x_1)^2$ در دو طرف $x_1$ هم‌علامت $a$ است:

$x$	$x<x_1$	$x_1$	$x>x_1$
$(x-x_1)^2$	$+$	$\circ$	$+$
$P(x)$	هم‌علامت $a$	$\circ$	هم‌علامت $a$

گام ۳: اگر $\Delta<0$ باشد، $-\frac{\Delta}{4a^2}>0$ است و $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ge 0$ . پس داخل کروشه مجموع یک عدد نامنفی و یک عدد مثبت است و همواره مثبت می‌ماند. بنابراین علامت $P(x)$ برای هر $x\in\mathbb{R}$ همان علامت $a$ است.

گام ۴: اگر $P(x)$ برای هر $x$ مثبت باشد، باید ریشهٔ حقیقی نداشته باشد، یعنی $\Delta<0$ . در این حالت $P(x)$ هم‌علامت $a$ است، پس $a>0$ . اگر $P(x)$ برای هر $x$ منفی باشد، باز هم $\Delta<0$ است و $P(x)$ هم‌علامت $a$ است، پس $a<0$ .

جواب نهایی

1) $P(x)$ برای $x<x_1$ و $x>x_2$ هم‌علامت $a$ است، در $x_1$ و $x_2$ صفر است و برای $x_1<x<x_2$ مخالف علامت $a$ است. (در سطر $x-x_2$ : $-$ ، $-$ ، $-$ ، $\circ$ ، $+$ و در سطر حاصل‌ضرب: $+$ ، $\circ$ ، $-$ ، $\circ$ ، $+$ )
2) $(x-x_1)^2$ : $+$ ، $\circ$ ، $+$ ؛ $P(x)$ : هم‌علامت $a$ ، $\circ$ ، هم‌علامت $a$
3) $P(x)$ برای هر $x\in\mathbb{R}$ هم‌علامت $a$ است.
4) اگر $P(x)>0$ برای هر $x$ : $a>0$ و $\Delta<0$ ؛ اگر $P(x)<0$ برای هر $x$ : $a<0$ و $\Delta<0$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.