ریاضی ۱ · فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها

حل تمرین صفحه ۸۱ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۳ تمرین صفحهٔ ۸۱ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها)، پایهٔ دهم؛ ۲ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

معادلهٔ دو سهمی به‌صورت $y = \frac{x^2}{2} + 1$ و $y = 2x^2 + 1$ است.
الف) مختصات رأس و دو نقطه دیگر از این دو سهمی را در جدول زیر مشخص کنید و سپس نمودار هر دو سهمی را در شکل مقابل رسم کنید و نشان دهید که مختصات رأس هر دو سهمی نقطهٔ $A(0, 1)$ است.

$x$	$y = \frac{x^2}{2} + 1$	$(x, y)$

$x$	$y = 2x^2 + 1$	$(x, y)$

ب) معادلهٔ سهمی دیگری را که نقطهٔ $A$ رأس آن است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنید.

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

تمرین ۱

نمودار هر یک از سهمی‌های زیر را رسم کنید.
الف) $y = -(x + 1)^2 - 3$
ب) $y = 3x^2 - 2$
پ) $y = x - x^2$
ت) $y = \frac{x^2}{2} + x - 4$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: الف) $y=-(x+1)^2-3$ به شکل $y=a(x-h)^2+k$ است با $a=-1$ ، $h=-1$ و $k=-3$ . رأس $(-1,-3)$ و خط تقارن $x=-1$ است. چون $a<0$ ، دهانه رو به پایین است.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$y$	$-7$	$-4$	$-3$	$-4$	$-7$

گام ۲: ب) $y=3x^2-2$ یعنی $a=3$ ، $h=0$ و $k=-2$ . رأس $(0,-2)$ و خط تقارن $x=0$ (محور $y$ ها) است. چون $a>0$ ، دهانه رو به بالاست.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$10$	$1$	$-2$	$1$	$10$

گام ۳: پ) $y=-x^2+x$ یعنی $a=-1$ ، $b=1$ و $c=0$ . طول رأس:

x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac12

عرض رأس: $y=\frac12-\frac14=\frac14$ . رأس $\left(\frac12,\frac14\right)$ و خط تقارن $x=\frac12$ است. دهانه رو به پایین است.

$x$	$-1$	$0$	$\frac12$	$1$	$2$
$y$	$-2$	$0$	$\frac14$	$0$	$-2$

گام ۴: ت) $y=\frac12x^2+x-4$ یعنی $a=\frac12$ ، $b=1$ و $c=-4$ . طول رأس:

x=-\frac{1}{2\cdot\frac12}=-1

عرض رأس: $y=\frac12-1-4=-\frac92$ . رأس $\left(-1,-\frac92\right)$ و خط تقارن $x=-1$ است. دهانه رو به بالاست.

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$y$	$0$	$-4$	$-\frac92$	$-4$	$0$

گام ۵: در هر قسمت نقاط جدول را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم و با یک منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم. نقاط هم‌عرض نسبت به خط تقارن قرینه‌اند.

جواب نهایی

الف) سهمی رو به پایین با رأس $(-1,-3)$ ، خط تقارن $x=-1$ و نقاط $(0,-4)$ ، $(-2,-4)$ ، $(1,-7)$ ، $(-3,-7)$
ب) سهمی رو به بالا با رأس $(0,-2)$ ، خط تقارن $x=0$ و نقاط $(\pm1,1)$ ، $(\pm2,10)$
پ) سهمی رو به پایین با رأس $\left(\frac12,\frac14\right)$ ، خط تقارن $x=\frac12$ و نقاط $(0,0)$ ، $(1,0)$ ، $(-1,-2)$ ، $(2,-2)$
ت) سهمی رو به بالا با رأس $\left(-1,-\frac92\right)$ ، خط تقارن $x=-1$ و نقاط $(0,-4)$ ، $(-2,-4)$ ، $(2,0)$ ، $(-4,0)$

تمرین ۲

اگر $(-2, 5)$ و $(0, 5)$ دو نقطه از یک سهمی باشند، خط تقارن این سهمی را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: دو نقطهٔ $(-2, 5)$ و $(0, 5)$ عرض یکسان دارند، پس طبق نکتهٔ درس نسبت به خط تقارن سهمی قرینه‌اند.

گام ۲: خط تقارن از وسط دو نقطه می‌گذرد، یعنی طول آن میانگین طول‌های دو نقطه است:

x = \frac{-2 + 0}{2} = -1

گام ۳: بررسی: فاصلهٔ هر دو نقطه تا خط $x=-1$ برابر ۱ است و دو نقطه در دو طرف آن قرار دارند، پس درست است.

جواب نهایی

خط تقارن سهمی: $x = -1$

تمرین ۳

نمودار سهمی $y = ax^2 + bx + c$ ، محور $y$ ها را در نقطه‌ای به عرض ۲ و محور $x$ ها را در نقاط به‌طول ۱- و ۲ قطع کرده است. معادلهٔ این سهمی را بنویسید و آن را رسم کنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: سهمی محور $y$ ها را در نقطه‌ای به عرض ۲ قطع کرده است، یعنی نقطهٔ $(0,2)$ روی آن است. با قرار دادن $x=0$ داریم $c=2$ .

گام ۲: نقاط $(-1,0)$ و $(2,0)$ روی سهمی‌اند. با جای‌گذاری در $y=ax^2+bx+2$ :

a-b+2=0

4a+2b+2=0 \Rightarrow 2a+b+1=0

گام ۳: با جمع دو معادله داریم $3a+3=0$ ، پس $a=-1$ . سپس از $a-b+2=0$ نتیجه می‌شود $b=1$ . بنابراین

y=-x^2+x+2

گام ۴: برای رسم، رأس را پیدا می‌کنیم:

x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac12,\qquad y=-\frac14+\frac12+2=\frac94

خط تقارن $x=\frac12$ است. جدول نقاط:

$x$	$y=-x^2+x+2$	$(x,y)$
$-1$	$0$	$(-1,0)$
$0$	$2$	$(0,2)$
$\frac12$	$\frac94$	$(\frac12,\frac94)$
$1$	$2$	$(1,2)$
$2$	$0$	$(2,0)$

گام ۵: این نقاط را در دستگاه مختصات مشخص و با یک منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم. چون $a<0$ است، دهانهٔ سهمی رو به پایین است و رأس $(\frac12,\frac94)$ بالاترین نقطهٔ آن است. نقاط $(0,2)$ و $(1,2)$ و نیز $(-1,0)$ و $(2,0)$ نسبت به خط $x=\frac12$ قرینه‌اند.

جواب نهایی

معادلهٔ سهمی $y=-x^2+x+2$ است؛ رأس $(\frac12,\frac94)$ ، دهانه رو به پایین، و نمودار از نقاط $(-1,0)$ ، $(0,2)$ ، $(1,2)$ و $(2,0)$ می‌گذرد.

تمرین ۴

دو پرتابگر وزنه در یک مسابقهٔ ورزشی، وزنه‌های خود را با زاویه‌های متفاوت $\alpha$ و $\beta$ که $\alpha < \beta$ است، پرتاب کرده‌اند. پرتابگر $A$ ، زاویهٔ $\alpha$ را انتخاب می‌کند و مسیر طی شده از رابطهٔ $y = -\frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}x + 2$ به‌دست می‌آید. پرتابگر $B$ نیز زاویهٔ $\beta$ را انتخاب می‌کند و مسیر

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۸۱ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس