حل تمرین صفحه ۸۰ ریاضی دهم

گام ۱: سهمی‌هایی به شکل $y=a(x-h)^2+k$ رأس $(h,k)$ و خط تقارن $x=h$ دارند.

گام ۲ (الف): معادلهٔ $y=(x+1)^2-2$ را می‌توان به شکل $y=(x-(-1))^2+(-2)$ نوشت. پس $h=-1$ و $k=-2$ است. رأس $(-1,-2)$ و خط تقارن $x=-1$ است. چون $a=1>0$، سهمی رو به بالاست.

گام ۳ (الف): چند نقطه را در جدول می‌نویسیم. نقاط دو طرف خط $x=-1$ قرینه‌اند.

این نقاط را روی صفحهٔ مختصات می‌گذاریم و با منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم. نمودار یک سهمی رو به بالا با پایین‌ترین نقطهٔ $(-1,-2)$ است.

گام ۴ (ب): معادلهٔ $y=-2x^2+1$ را می‌توان به شکل $y=-2(x-0)^2+1$ نوشت. پس $h=0$ و $k=1$ است. رأس $(0,1)$ و خط تقارن $x=0$ (محور $y$ها) است. چون $a=-2<0$، سهمی رو به پایین است و رأس بالاترین نقطه است.

گام ۵ (ب): جدول نقاط:

این نقاط را روی صفحهٔ مختصات می‌گذاریم و با منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم. نمودار یک سهمی رو به پایین، باریک‌تر از $y=-x^2$ و با بالاترین نقطهٔ $(0,1)$ است.

گام ۱: (الف) ابتدا از دو جمله‌ی اول $a$ فاکتور می‌گیریم:

گام ۲: برای کامل کردن مربع، مربع نصف ضریب $x$ یعنی $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ را داخل پرانتز اضافه و کم می‌کنیم:

گام ۳: با مخرج مشترک گرفتن از دو جملهٔ آخر داریم:

پس

گام ۴: (ب) این معادله به شکل $y = a(x-h)^2 + k$ است که در آن $h = -\frac{b}{2a}$ و $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$. طبق نکتهٔ کتاب، رأس این سهمی $(h,k)$ و خط تقارن آن $x = h$ است.

گام ۵: بنابراین رأس سهمی $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a}\right)$ و خط تقارن $x = -\frac{b}{2a}$ است.
(تحقیق: با قرار دادن $x=-\frac{b}{2a}$ در معادله، جملهٔ مربع صفر می‌شود و $y=\frac{4ac-b^2}{4a}$ به‌دست می‌آید.)