حل تمرین صفحه ۷۷ ریاضی دهم

گام ۱: معادله را به شکل $ax^2+bx+c=0$ می‌نویسیم و از $\Delta=b^2-4ac$ و $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ استفاده می‌کنیم.

گام ۲: بخش ۱) در معادلهٔ $4x^2-13x+3=0$ داریم $a=4$، $b=-13$ و $c=3$:

پس $x_1=3$ و $x_2=\dfrac14$.

گام ۳: بخش ۲) معادله را به شکل $r^2-r+3=0$ می‌نویسیم، پس $a=1$، $b=-1$ و $c=3$:

چون $\Delta<0$ است، معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.

گام ۴: بخش ۳) معادله را به شکل $a^2+2\sqrt3\,a-9=0$ می‌نویسیم:

پس $a_1=\sqrt3$ و $a_2=-3\sqrt3$.

گام ۵: بخش ۴) دو طرف $\dfrac{t^2}{3}-\dfrac{t}{2}-\dfrac32=0$ را در ۶ ضرب می‌کنیم: $2t^2-3t-9=0$. پس:

پس $t_1=3$ و $t_2=-\dfrac32$.

گام ۶: جواب‌ها را در معادله‌ها جای‌گذاری می‌کنیم و درستی آن‌ها را بررسی می‌کنیم؛ برای نمونه $t=3$ در بخش ۴ داده می‌شود $3-\frac32-\frac32=0$.

گام ۱: برای $2x^2=250$ دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: $x^2=125$. با ریشه دوم گرفتن داریم $x=\pm\sqrt{125}=\pm5\sqrt5$.

گام ۲: معادله $9-6z+z^2=0$ را مرتب می‌کنیم: $z^2-6z+9=0$. این یک اتحاد مربع کامل است، پس $(z-3)^2=0$ و $z=3$ (ریشه مضاعف).

گام ۳: در $4a^2+3a-1=0$ داریم $a=4$، $b=3$، $c=-1$. پس

گام ۴: در $b^2+\sqrt2\,b-4=0$ داریم $a=1$، $b=\sqrt2$، $c=-4$. پس

بررسی: برای $b=\sqrt2$ داریم $2+2-4=0$ و برای $b=-2\sqrt2$ داریم $8-4-4=0$.

گام ۱: دو عدد فرد متوالی را $x$ و $x+2$ می‌گیریم، که $x$ فرد است.

گام ۲: مجموع مربعات آن‌ها ۲۹۰ است:

گام ۳: معادله را ساده می‌کنیم:

گام ۴: با فرمول کلی: $\Delta = 4 + 572 = 576$ و $\sqrt{\Delta} = 24$. پس:

گام ۵: برای $x = 11$ عدد دوم $13$ است و $121 + 169 = 290$ درست است. برای $x = -13$ عدد دوم $-11$ است و $169 + 121 = 290$ درست است. هر دو جواب قابل قبول‌اند.

گام ۱: عرض مستطیل را $a$ می‌گیریم. طول آن $4a + 3$ است. مساحت برابر ۴۵ است، پس:

گام ۲: معادله را ساده می‌کنیم:

در این معادله $a = 4$ ، $b = 3$ ، $c = -45$ است.

گام ۳: دلتا را حساب می‌کنیم:

گام ۴: ریشه‌ها را به دست می‌آوریم:

عرض نمی‌تواند منفی باشد، پس $a_2$ قابل قبول نیست و $a = 3$ است.

گام ۵: طول را حساب می‌کنیم: $4 \times 3 + 3 = 15$.
بررسی: $3 \times 15 = 45$ ✓.

گام ۱: سن فعلی برادر کوچک‌تر را $x$ می‌گیریم. سن برادر بزرگ‌تر $x+4$ است.

گام ۲: چهار سال دیگر سن‌ها $x+4$ و $x+8$ می‌شوند و حاصل‌ضربشان ۶۰ است:

گام ۳: معادله را ساده می‌کنیم:

گام ۴: با فرمول کلی ($a=1$، $b=12$، $c=-28$):

گام ۵: سن نمی‌تواند منفی باشد، پس $x=2$ و سن برادر بزرگ‌تر ۶ است. بررسی: چهار سال دیگر سن‌ها ۶ و ۱۰ می‌شوند و $6\times10=60$.

گام ۱: فاصلهٔ لبه‌های عکس تا قاب را $x$ می‌گیریم. از هر طرف $x$ به ابعاد عکس اضافه می‌شود، پس ابعاد قاب $10+2x$ و $15+2x$ است.

گام ۲: مساحت قاب ۳۰۰ است:

بعد از ساده کردن: $4x^2+50x+150=300$، یعنی $4x^2+50x-150=0$ و با تقسیم بر ۲: $2x^2+25x-75=0$.

گام ۳: $a=2$، $b=25$، $c=-75$ و

گام ۴: چون $x$ فاصله است، باید مثبت باشد؛ پس $x=2/5$ و $x=-15$ قابل قبول نیست.

گام ۵: ابعاد قاب: $10+2(2/5)=15$ و $15+2(2/5)=20$.
بررسی: $15\times 20=300$ ✓

گام ۱: هر تیم با $n-1$ تیم دیگر بازی می‌کند. اگر بازی هر دو تیم را دو بار حساب کنیم، تعداد کل برابر $n(n-1)$ می‌شود. چون هر بازی بین دو تیم است و دو بار شمرده شده، باید بر ۲ تقسیم کنیم:

گام ۲: با $N=45$ داریم $\frac{n(n-1)}{2}=45$. پس $n^2-n=90$ و در نتیجه:

گام ۳: در این معادله $a=1$، $b=-1$ و $c=-90$ است، پس:

گام ۴: ریشه‌ها برابرند با:

تعداد تیم‌ها نمی‌تواند منفی باشد، پس $n=10$.

گام ۵: بررسی: $\frac{10\times9}{2}=45$ ✓.

گام ۱: برای فشار خون ۱۲۵ داریم $P=125$، پس:

گام ۲: دو طرف را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم تا ضرایب صحیح شوند:

گام ۳: ضرایب $a=3$، $b=-10$ و $c=-2500$ هستند، بنابراین:

چون $\Delta>0$ است، معادله دو ریشه دارد و با ماشین حساب $\sqrt{30100}\approx 173/49$.

گام ۴: ریشه‌ها را حساب می‌کنیم:

گام ۵: سن نمی‌تواند منفی باشد، پس $s_2$ پذیرفته نیست. بررسی: برای $s\approx30/58$ داریم $0/006(935/1)-0/02(30/58)+120\approx5/61-0/61+120=125$ که درست است.