۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی ۱ · فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها

حل تمرین صفحه ۷۴ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۷۴ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس

معادله‌های زیر را به روش مربع کامل حل کنید.

الف) x2+2x=24x^2 + 2x = 24

ب) t2+3t=3t^2 + 3t = 3

پ) n2−4n+5=0n^2 - 4n + 5 = 0

ت) 2r2+r−2=02r^2 + r - 2 = 0

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: الف) نصف ضریب xx برابر ۱ است، پس ۱ را به دو طرف اضافه می‌کنیم:

x2+2x+1=24+1⇒(x+1)2=25⇒x+1=±5x^2+2x+1=24+1 \Rightarrow (x+1)^2=25 \Rightarrow x+1=\pm5

پس x=4x=4 یا x=−6x=-6.

گام ۲: ب) نصف ضریب tt برابر 32\frac{3}{2} است و مربعش 94\frac{9}{4} می‌شود:

t2+3t+94=3+94⇒(t+32)2=214t^2+3t+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4} \Rightarrow \left(t+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{21}{4}
t+32=±212⇒t=−3±212t+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2} \Rightarrow t=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}

گام ۳: پ) ابتدا عدد ۵ را به طرف راست می‌بریم و سپس ۴ را به دو طرف اضافه می‌کنیم:

n2−4n=−5⇒n2−4n+4=−5+4⇒(n−2)2=−1n^2-4n=-5 \Rightarrow n^2-4n+4=-5+4 \Rightarrow (n-2)^2=-1

مربع هر عدد حقیقی نامنفی است و نمی‌تواند برابر −1-1 شود. پس معادله ریشهٔ حقیقی ندارد.

گام ۴: ت) دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم، سپس (14)2=116\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16} را اضافه می‌کنیم:

r2+12r=1⇒r2+12r+116=1+116⇒(r+14)2=1716r^2+\frac{1}{2}r=1 \Rightarrow r^2+\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16} \Rightarrow \left(r+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{17}{16}
r+14=±174⇒r=−1±174r+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4} \Rightarrow r=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}

جواب نهایی

الف) x=4x=4 و x=−6x=-6
ب) t=−3+212t=\frac{-3+\sqrt{21}}{2} و t=−3−212t=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}
پ) ریشهٔ حقیقی ندارد
ت) r=−1+174r=\frac{-1+\sqrt{17}}{4} و r=−1−174r=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}

فعالیت

در بخش‌های قبل، روش‌هایی برای حل معادله‌های درجه دوم فرا گرفته‌اید. اکنون می‌خواهیم یک فرمول کلی برای حل معادلهٔ درجه دوم ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 که در آن a≠0a \neq 0 است، پیدا کنیم.

دانش‌آموز: آیا با روش مربع کامل می‌توان هر معادلهٔ درجه دوم را حل کرد؟
معلم: بله. برای حل معادلهٔ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 با این روش مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0دو طرف معادله را بر a تقسیم می‌کنیمx2+bax=−caبه دو طرف معادله، …را اضافه کرده‌ایمx2+bax+⋯=−ca+…به دو طرف معادله، …را اضافه کرده‌ایم تا سمت چپ مربع کامل شود(x+b2a)2=b2−4ac4a2دو طرف را ساده کرده‌ایم\begin{aligned} &ax^2 + bx + c = 0 \\ &x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 && \text{دو طرف معادله را بر } a \text{ تقسیم می‌کنیم} \\ &x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} && \text{به دو طرف معادله، \dots را اضافه کرده‌ایم} \\ &x^2 + \frac{b}{a}x + \dots = -\frac{c}{a} + \dots && \text{به دو طرف معادله، \dots را اضافه کرده‌ایم تا سمت چپ مربع کامل شود} \\ &(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} && \text{دو طرف را ساده کرده‌ایم} \end{aligned}

اکنون قرار می‌دهیم Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac؛ پس: (x+b2a)2=Δ4a2(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.

آیا می‌توانید با ریشهٔ دوم گرفتن از دو طرف این معادله، جواب‌های آن را به‌دست آورید؟

دانش‌آموز: اگر Δ<0\Delta < 0 باشد، از سمت راست نمی‌توان ریشهٔ دوم گرفت.
معلم: آفرین؛ پس اگر Δ\Delta یک عدد منفی باشد، معادلهٔ درجهٔ دوم ریشه‌ای ندارد. اگر Δ>0\Delta > 0 باشد، آیا می‌توانید ریشه‌های این معادله را به‌دست آورید؟

دانش‌آموز: بله. کافی است از دو طرف معادلهٔ (x+b2a)2=Δ4a2(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a^2} ریشهٔ دوم بگیریم:

x+b2a=±Δ2a⇒x=−b±Δ2ax + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ابتدا دو طرف معادلهٔ ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 را بر aa تقسیم می‌کنیم: x2+bax+ca=0x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.

گام ۲: برای رسیدن به خط بعد، به دو طرف −ca-\frac{c}{a} اضافه کرده‌ایم:

x2+bax=−cax^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

گام ۳: برای مربع کامل شدن سمت چپ، مطابق فعالیت قبل (در x2+axx^2+ax باید (a2)2\left(\frac{a}{2}\right)^2 اضافه شود)، اینجا ضریب xx برابر ba\frac{b}{a} است؛ پس نصف آن b2a\frac{b}{2a} و مربعش b24a2\frac{b^2}{4a^2} است. این را به دو طرف اضافه می‌کنیم:

x2+bax+b24a2=−ca+b24a2x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

گام ۴: سمت چپ برابر (x+b2a)2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 و سمت راست برابر b2−4ac4a2\frac{b^2-4ac}{4a^2} می‌شود. با Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac داریم (x+b2a)2=Δ4a2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}.

گام ۵: اگر Δ<0\Delta<0 باشد، سمت راست منفی است و معادله ریشه ندارد. اگر Δ≥0\Delta\ge0 باشد، ریشهٔ دوم می‌گیریم:

x+b2a=±Δ2a⇒x=−b±Δ2ax+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

(برای Δ=0\Delta=0 یک جواب دوگانه x=−b2ax=-\frac{b}{2a} به‌دست می‌آید.)

جواب نهایی

جای خالی اول: −ca-\frac{c}{a} (به دو طرف اضافه شده است)
جای خالی دوم و سوم: b24a2\frac{b^2}{4a^2} (هر دو)
فرمول کلی: x=−b±Δ2ax=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} با Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac؛ اگر Δ<0\Delta<0 ریشه ندارد

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۷۴ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس