حل تمرین صفحه ۷۱ ریاضی دهم

گام ۱: معادله $x^2 - 2x - 3 = 0$ را به شکل $x^2+(a+b)x+ab$ (اتحاد جملهٔ مشترک) در نظر می‌گیریم. باید دو عدد $a$ و $b$ پیدا کنیم که مجموعشان $-2$ و حاصل‌ضربشان $-3$ باشد.

گام ۲: عددهای $+1$ و $-3$ این شرط را دارند، زیرا $1+(-3)=-2$ و $1\times(-3)=-3$.

گام ۳: پس تجزیه به صورت زیر است:

گام ۴: بررسی: $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$ ✓

گام ۱: در بند ۱ سمت چپ معادله به‌صورت $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ تجزیه می‌شود. پس جای خالی در معادله $3$ است:

گام ۲: طبق ویژگی حاصل‌ضرب صفر، یکی از دو عامل باید صفر باشد:

گام ۳: از حل هر معادله داریم:

گام ۴: جواب $x=3$ را آزمایش می‌کنیم:

گام ۱: در قسمت (الف) ابتدا همهٔ جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم تا سمت دیگر صفر شود:

گام ۲: با اتحاد جملهٔ مشترک دو عدد می‌یابیم که حاصل‌ضربشان $-10$ و مجموعشان $-3$ باشد. این دو عدد $-5$ و $+2$ هستند:

گام ۳: آزمایش جواب‌های (الف) در معادلهٔ اصلی $x^2-3x=10$:

• برای $x=5$: $25-15=10$ ✓
• برای $x=-2$: $4+6=10$ ✓

گام ۴: در قسمت (ب) از $t$ فاکتور می‌گیریم:

طبق ویژگی حاصل‌ضرب صفر داریم $t=0$ یا $3t-1=0$، یعنی $t=\frac13$.

گام ۵: آزمایش جواب‌های (ب):

• برای $t=0$: $3(0)^2-0=0$ ✓
• برای $t=\frac13$: $3\cdot\frac19-\frac13=\frac13-\frac13=0$ ✓