ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

حل تمرین صفحه ۶۷ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۴ تمرین صفحهٔ ۶۷ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری)، پایهٔ دهم؛ ۱ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۱

هر یک از عبارت‌های زیر را تا حد ممکن (به عبارت‌های گویا) تجزیه کنید.
الف) $x^{\varphi}-y^{\varphi}$
ب) $x^{\varphi}-y^{\varphi}$
پ) $\wedge a^{\mu}+\mu v$
ت) $a^{\mu}b^{\varphi}-\wedge$

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

تمرین ۲

مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.
الف) $\frac{\mu}{\mu+\sqrt{v}}$
ب) $\frac{\wedge}{\sqrt{\Delta}+\sqrt{\mu}}$
پ) $\frac{1}{\sqrt[r]{x}-r}$
ت) $\frac{\varepsilon}{r\sqrt[r]{r}-1}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در متن، ارقام خراب چاپ شده‌اند. من کسرها را این‌طور خوانده‌ام: الف) $\frac{3}{3+\sqrt7}$ ، ب) $\frac{8}{\sqrt5+\sqrt3}$ ، پ) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}-2}$ ، ت) $\frac{4}{2\sqrt[3]{2}-1}$ . برای ریشه دوم از مزدوج $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ و برای ریشه سوم از اتحاد مجموع و تفاضل مکعب‌ها استفاده می‌کنیم.

گام ۲: الف) صورت و مخرج را در مزدوج $3-\sqrt7$ ضرب می‌کنیم:

\frac{3}{3+\sqrt7}\times\frac{3-\sqrt7}{3-\sqrt7}=\frac{3(3-\sqrt7)}{9-7}=\frac{9-3\sqrt7}{2}

گام ۳: ب) صورت و مخرج را در $\sqrt5-\sqrt3$ ضرب می‌کنیم:

\frac{8(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3}=4(\sqrt5-\sqrt3)

گام ۴: پ) از $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ با $a=\sqrt[3]{x}$ و $b=2$ استفاده می‌کنیم:

\frac{1}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}=\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{x-8}

گام ۵: ت) با $a=2\sqrt[3]{2}$ و $b=1$ داریم $a^3=8\times2=16$ و $a^2=4\sqrt[3]{4}$ :

\frac{4}{2\sqrt[3]{2}-1}\times\frac{4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1}{4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1}=\frac{4(4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1)}{16-1}=\frac{16\sqrt[3]{4}+8\sqrt[3]{2}+4}{15}

جواب نهایی

الف) $\frac{9-3\sqrt7}{2}$
ب) $4(\sqrt5-\sqrt3)$
پ) $\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{x-8}$
ت) $\frac{16\sqrt[3]{4}+8\sqrt[3]{2}+4}{15}$

تمرین ۳

با استفاده از اتحادها، حاصل ضرب‌های زیر را مانند نمونه به‌دست آورید.
الف) $224 = 16 \times 14 = (15 + 1)(15 - 1) = 15^2 - 1^2 = 225 - 1$
ب) $105^2$
پ) $9999^2$
ت) $105^{\mu}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در نمونه، عدد را به مجموع یا تفاضل یک عدد «گرد» و یک عدد کوچک تبدیل می‌کنیم و اتحاد مناسب را به کار می‌بریم. در اینجا $\mu$ همان ۳ است.

گام ۲: ب) از اتحاد مربع مجموع دو جمله استفاده می‌کنیم:

105^2=(100+5)^2=100^2+2\times100\times5+5^2=10000+1000+25=11025

گام ۳: پ) از اتحاد مربع تفاضل دو جمله استفاده می‌کنیم:

9999^2=(10000-1)^2=10000^2-2\times10000\times1+1^2=100000000-20000+1=99980001

گام ۴: ت) از اتحاد مکعب مجموع دو جمله استفاده می‌کنیم:

105^3=(100+5)^3=100^3+3\times100^2\times5+3\times100\times5^2+5^3

=1000000+150000+7500+125=1157625

گام ۵: بررسی: $11025\times105=1157625$ ، که با پاسخ بالا برابر است.

جواب نهایی

الف) نمونهٔ حل‌شده است: ۲۲۴
ب) $105^2=11025$
پ) $9999^2=99980001$
ت) $105^3=1157625$

تمرین ۴

حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) $\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{r}{\sqrt{x}+1}-\frac{\Delta x}{x-1}$
ب) $\frac{1}{\sqrt[r]{x}-1}-\frac{1}{x-1}$

جواب گام‌به‌گام

الف)

گام ۱: متن مسئله در چاپ خراب شده است. آن را این‌طور می‌خوانم: $\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{5x}{x-1}$ . مخرج مشترک را $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1$ می‌گیریم.

گام ۲: دو کسر اول را با هم جمع می‌کنیم:

\frac{(\sqrt{x}+1)+2(\sqrt{x}-1)}{x-1}=\frac{3\sqrt{x}-1}{x-1}

گام ۳: کسر سوم را کم می‌کنیم:

\frac{3\sqrt{x}-1-5x}{x-1}

ب)

گام ۴: چون $x-1=(\sqrt[3]{x})^3-1^3=(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)$ ، مخرج کسر اول را با ضرب در $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1$ گویا می‌کنیم:

\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{x-1}

گام ۵: کسر دوم را کم می‌کنیم:

\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1-1}{x-1}=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}}{x-1}

جواب نهایی

الف) $\dfrac{3\sqrt{x}-1-5x}{x-1}$ (بر اساس خوانش گفته‌شده از متن خراب‌شده)
ب) $\dfrac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}}{x-1}$

تمرین ۵

اگر $\sqrt{x}+\sqrt{x-\varphi}=\mu$ ، حاصل عبارت $\sqrt{x}-\sqrt{x-\varphi}$ را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عددهای تمرین در متن خراب چاپ شده‌اند. با توجه به تمرین‌های دیگر (مثلاً $a^3b^6-8$ و $8a^3+27$ ) مسئله را چنین می‌خوانیم: اگر $\sqrt{x}+\sqrt{x-6}=3$ باشد، مقدار $\sqrt{x}-\sqrt{x-6}$ را بیابید.

گام ۲: دو عبارت $\sqrt{x}+\sqrt{x-6}$ و $\sqrt{x}-\sqrt{x-6}$ مزدوج یکدیگرند. حاصل‌ضرب آن‌ها را با اتحاد مزدوج می‌نویسیم:

(\sqrt{x}+\sqrt{x-6})(\sqrt{x}-\sqrt{x-6})=x-(x-6)=6

گام ۳: عبارت اول برابر ۳ است. پس اگر $A=\sqrt{x}-\sqrt{x-6}$ باشد:

3\times A=6\Rightarrow A=2

گام ۴: بررسی: از دو رابطه $\sqrt{x}+\sqrt{x-6}=3$ و $\sqrt{x}-\sqrt{x-6}=2$ نتیجه می‌شود $\sqrt{x}=\frac{5}{2}$ و $\sqrt{x-6}=\frac{1}{2}$ . بنابراین $x=\frac{25}{4}$ و $x-6=\frac{1}{4}$ که با هم سازگارند.

جواب نهایی

$\sqrt{x}-\sqrt{x-6}=2$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۶۷ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس