حاصل هر یک از مجموعههای زیر را با رسم بازههای آنها روی یک محور بهدست آورید: الف) (-۲, ۵] \cup (-۳, ۰) ب) (۲, ۹) \cap [-\infty, ۶) پ) [۶, ۱۰) \cap (۳, +\infty) ت) (-\infty, ۱) \cup [۱, +\infty) ث) (۳, +\infty) - [۲, ۴) ج) [۲, ۴) - (۳, +\infty)

الف) (-۳,۵] ب) (۲,۶) پ) [۶,۱۰) ت) \mathbb{R} ث) [۴,+\infty) ج) [۲,۳]

ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

حل تمرین صفحه ۷ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۷ تمرین صفحهٔ ۷ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

الف) $\frac{1}{3}$ عددی بین ۰ و ۱ است. چهار عدد گویای دیگر از بازهٔ $(0, 1)$ بنویسید و جواب خود را با جواب‌های دوستانتان مقایسه کنید.

ب) آیا می‌توان بین ۰ و ۱ به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد؟

پ) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در بازهٔ $(0, 1)$ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

ت) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن $\mathbb{Q}$ چه می‌توان گفت؟

ث) اگر $A$ دارای یک زیرمجموعهٔ نامتناهی باشد، آنگاه $A$ یک مجموعه .......... خواهد بود.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱ (الف): هر کسر $\frac{a}{b}$ با $0<a<b$ در بازهٔ $(0,1)$ قرار دارد. برای نمونه چهار عدد گویای $\frac{1}{2}$ ، $\frac{1}{4}$ ، $\frac{2}{3}$ و $\frac{3}{4}$ را می‌نویسیم. پاسخ‌های دیگر هم درست است، مثلاً $\frac{1}{5}$ یا $\frac{2}{7}$ .

گام ۲ (ب): بله. اعداد $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ یعنی $\frac{1}{n}$ به‌ازای هر عدد طبیعی $n\ge 2$ همگی گویا و بین ۰ و ۱ هستند. پس به هر تعداد دلخواه عدد گویا بین ۰ و ۱ می‌توان نوشت. همچنین بین هر دو عدد گویا همیشه عدد گویای دیگری هست، مثلاً میانگین آن دو.

گام ۳ (پ): چون تعداد اعداد گویای این بازه را نمی‌توان با هیچ عدد طبیعی محدود کرد و همیشه عدد جدیدی پیدا می‌شود، مجموعهٔ اعداد گویای بازهٔ $(0,1)$ نامتناهی است.

گام ۴ (ت): اعداد گویای بازهٔ $(0,1)$ زیرمجموعه‌ای نامتناهی از $\mathbb{Q}$ هستند. بنابراین $\mathbb{Q}$ هم نامتناهی است، چون اگر متناهی بود هر زیرمجموعه‌اش هم متناهی می‌شد.

گام ۵ (ث): هر مجموعه‌ای که یک زیرمجموعهٔ نامتناهی داشته باشد، خودش نیز نامتناهی است.

جواب نهایی

الف) برای نمونه $\frac{1}{2}$ ، $\frac{1}{4}$ ، $\frac{2}{3}$ ، $\frac{3}{4}$ (پاسخ‌های دیگر هم ممکن است)
ب) بله؛ مثلاً $\frac{1}{n}$ به‌ازای $n=2,3,4,\dots$
پ) اعداد گویای بازهٔ $(0,1)$ مجموعه‌ای نامتناهی‌اند.
ت) $\mathbb{Q}$ نامتناهی است.
ث) نامتناهی

تمرین ۱

فرض کنید $U$ مجموعهٔ تمام مضرب‌های طبیعی عدد ۵ باشد.

الف) $U$ را با نمایش اعضای آن بنویسید.

ب) $U$ متناهی است یا نامتناهی؟

پ) یک زیرمجموعهٔ متناهی از $U$ بنویسید.

ت) دو زیرمجموعهٔ نامتناهی مانند $C$ و $D$ از $U$ بنویسید؛ به‌طوری که $C \subseteq D$ .

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مضرب‌های طبیعی عدد ۵ را به ترتیب می‌نویسیم: $5\times1, 5\times2, 5\times3,\dots$ پس

U=\{5,10,15,20,\dots\}

گام ۲: مضرب‌های طبیعی ۵ تمام ندارند و همیشه می‌توان عدد بزرگ‌تری مانند $5(n+1)$ بعد از $5n$ پیدا کرد؛ پس $U$ نامتناهی است.

گام ۳: هر مجموعهٔ با تعداد اعضای مشخص که اعضایش از $U$ باشند، زیرمجموعهٔ متناهی است؛ مثلاً $\{5,10,15\}$ که هر سه عضو آن مضرب ۵ هستند.

گام ۴: برای زیرمجموعه‌های نامتناهی، مضرب‌های طبیعی ۱۰ را به عنوان $C$ و مضرب‌های طبیعی ۵ را به عنوان $D$ در نظر می‌گیریم. اما چون $D=U$ است، بهتر است $D$ را کمی کوچک‌تر بگیریم:

D=\{10,15,20,25,\dots\},\qquad C=\{10,20,30,40,\dots\}

هر دو نامتناهی‌اند و هر عضو $C$ (مضرب ۱۰) در $D$ هست، پس $C\subseteq D\subseteq U$ .

جواب نهایی

الف) $U=\{5,10,15,20,\dots\}$
ب) نامتناهی
پ) مثلاً $\{5,10,15\}$
ت) مثلاً $C=\{10,20,30,\dots\}$ و $D=\{10,15,20,25,\dots\}$ (پاسخ‌های دیگر هم ممکن است)

تمرین ۲

متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه‌های زیر را مشخص کنید.

الف) مجموعهٔ اعداد طبیعی.

ب) مجموعه شمارنده‌های طبیعی عدد ۳۶.

پ) بازهٔ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ .

ت) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 < x < 2\}$ .

ث) مجموعهٔ مضرب‌های طبیعی عدد ۱۰۰.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: الف) مجموعهٔ اعداد طبیعی با افزودن ۱ به هر عضو، همیشه عضو بعدی دارد و پایان ندارد؛ پس نامتناهی است.

گام ۲: ب) شمارنده‌های طبیعی ۳۶ عبارت‌اند از $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ که ۹ عضو دارد؛ پس متناهی است.

گام ۳: پ) بین هر دو عدد حقیقی متمایز، بی‌شمار عدد گویا (و حقیقی) وجود دارد. بازهٔ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ مثل بازهٔ $(0,1)$ بی‌نهایت عضو دارد؛ پس نامتناهی است.

گام ۴: ت) هیچ عدد طبیعی‌ای بین ۱ و ۲ نیست؛ پس $A = \varnothing$ است. مجموعهٔ تهی هیچ عضوی ندارد (۰ عضو)، پس متناهی است.

گام ۵: ث) مضرب‌های طبیعی ۱۰۰ برابرند با $\{100, 200, 300, \dots\}$ که پایان ندارد؛ پس نامتناهی است.

جواب نهایی

الف) نامتناهی
ب) متناهی (۹ عضو)
پ) نامتناهی
ت) متناهی ( $A=\varnothing$ )
ث) نامتناهی

تمرین ۳

دو مجموعهٔ نامتناهی مثال بزنید که اشتراک آنها مجموعه‌ای متناهی باشد.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: باید دو مجموعهٔ نامتناهی بیابیم که اشتراکشان فقط تعداد محدودی عضو داشته باشد.

گام ۲: مجموعهٔ $A$ را اعداد طبیعی بزرگ‌تر یا مساوی ۵ و مجموعهٔ $B$ را اعداد طبیعی کوچک‌تر یا مساوی ۱۰ نمی‌گیریم (چون $B$ متناهی می‌شود)؛ پس از دو مجموعهٔ نامتناهی استفاده می‌کنیم:

A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\ge 1\}=\mathbb{N},\qquad B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\le 3\}

هر دو نامتناهی‌اند (مثلاً $A$ شامل ۱، ۲، ۳، … و $B$ شامل ۳، ۲، ۱، ۰، ۱−، … است).

گام ۳: اشتراک:

A\cap B=\{1,2,3\}

که سه عضو دارد و متناهی است.

گام ۴: مثال دیگر با بازه‌ها: $(-\infty,2]$ و $[2,+\infty)$ نامتناهی‌اند و اشتراکشان $\{2\}$ است که متناهی است. پاسخ‌های دیگر هم ممکن است.

جواب نهایی

مثال: $A=\mathbb{N}$ و $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\le 3\}$ نامتناهی‌اند و $A\cap B=\{1,2,3\}$ متناهی است (مثال دیگر: $(-\infty,2]$ و $[2,+\infty)$ با اشتراک $\{2\}$ ).

تمرین ۴

حاصل هر یک از مجموعه‌های زیر را با رسم بازه‌های آنها روی یک محور به‌دست آورید:

الف) $(-2, 5] \cup (-3, 0)$

ب) $(2, 9) \cap [-\infty, 6)$

پ) $[6, 10) \cap (3, +\infty)$

ت) $(-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$

ث) $(3, +\infty) - [2, 4)$

ج) $[2, 4) - (3, +\infty)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در (الف) بازه‌ها را روی یک محور رسم می‌کنیم: $(-2,5]$ و $(-3,0)$ . اجتماع، همهٔ نقاطی است که در دست‌کم یکی از دو بازه باشند. بازهٔ $(-3,0)$ از $-3$ شروع می‌شود و $(-2,5]$ تا ۵ ادامه دارد. این دو هم‌پوشانی دارند، پس اجتماعشان یک بازه است:

(-2,5]\cup(-3,0)=(-3,5]

گام ۲: در (ب) نماد $-\infty$ همیشه با پرانتز می‌آید، پس بازه را $(-\infty,6)$ در نظر می‌گیریم. اشتراک، قسمت مشترک دو بازه است: از بزرگ‌تر بودن از ۲ تا کوچک‌تر بودن از ۶:

(2,9)\cap(-\infty,6)=(2,6)

گام ۳: در (پ) قسمت مشترک $[6,10)$ و $(3,+\infty)$ را می‌گیریم. چون هر عدد $6\le x<10$ بزرگ‌تر از ۳ است، کل بازهٔ اول در بازهٔ دوم قرار دارد:

[6,10)\cap(3,+\infty)=[6,10)

گام ۴: در (ت) دو بازه در عدد ۱ به هم می‌رسند. ۱ در بازهٔ دوم هست، پس هیچ نقطه‌ای جا نمی‌ماند:

(-\infty,1)\cup[1,+\infty)=\mathbb{R}

گام ۵: در (ث) از $(3,+\infty)$ اعضای $[2,4)$ را حذف می‌کنیم. یعنی اعداد بزرگ‌تر از ۳ را نگه می‌داریم که در $[2,4)$ نباشند، پس $x\ge4$ :

(3,+\infty)-[2,4)=[4,+\infty)

گام ۶: در (ج) از $[2,4)$ اعضای $(3,+\infty)$ را حذف می‌کنیم. اعداد بزرگ‌تر از ۳ برداشته می‌شوند و ۳ می‌ماند، چون در $(3,+\infty)$ نیست:

[2,4)-(3,+\infty)=[2,3]

(در هر قسمت، بازه‌ها را روی محور اعداد زیر هم رسم می‌کنیم و ناحیهٔ جواب را پررنگ می‌کنیم.)

جواب نهایی

الف) $(-3,5]$
ب) $(2,6)$
پ) $[6,10)$
ت) $\mathbb{R}$
ث) $[4,+\infty)$
ج) $[2,3]$

تمرین ۵

مجموعهٔ $\mathbb{R} - \{3\}$ را روی محور نشان دهید و سپس آن را به‌صورت اجتماع دو بازه بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مجموعهٔ $\mathbb{R}-\{3\}$ یعنی همهٔ اعداد حقیقی به جز ۳. روی محور اعداد، تمام نقاط را پررنگ می‌کنیم و در نقطهٔ ۳ یک دایرهٔ توخالی (○) می‌گذاریم تا نشان دهیم ۳ در مجموعه نیست.

گام ۲: اعداد حقیقی کوچک‌تر از ۳ بازهٔ $(-\infty, 3)$ را می‌سازند و اعداد حقیقی بزرگ‌تر از ۳ بازهٔ $(3, +\infty)$ را.

گام ۳: اجتماع این دو بازه همهٔ اعداد حقیقی به جز خود ۳ را می‌دهد:

\mathbb{R}-\{3\}=(-\infty,3)\cup(3,+\infty)

جواب نهایی

$\mathbb{R}-\{3\}=(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$ (روی محور: همهٔ نقاط به جز ۳ که با دایرهٔ توخالی مشخص می‌شود)

تمرین ۶

اگر $A \subseteq B$ و $B$ مجموعه‌ای متناهی باشد، آنگاه $A$ متناهی خواهد بود یا نامتناهی؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از فعالیت (ث) می‌دانیم: اگر مجموعه‌ای یک زیرمجموعهٔ نامتناهی داشته باشد، خودش نامتناهی است. این جمله را به‌صورت برعکس (عکس نقیض) به کار می‌بریم.

گام ۲: فرض کنید $A \subseteq B$ و $B$ متناهی باشد. اگر $A$ نامتناهی بود، آنگاه $B$ یک زیرمجموعهٔ نامتناهی ( $A$ ) داشت و باید نامتناهی می‌شد؛ این با متناهی بودن $B$ در تناقض است.

گام ۳: پس $A$ نامتناهی نیست، یعنی $A$ متناهی است. (مثال: اگر $B=\{1,2,3,4\}$ و $A=\{1,3\}$ ، آنگاه $A$ متناهی است.)

جواب نهایی

$A$ متناهی خواهد بود.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۷ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس