حل تمرین صفحه ۶ ریاضی دهم

گام ۱: مجموعه‌ای متناهی است که تعداد اعضایش یک عدد حسابی باشد. اگر تعداد اعضا از هر عدد دلخواهی بیشتر شود، مجموعه نامتناهی است.

گام ۲: مجموعه‌های نامتناهی:

• اعداد طبیعی فرد: $\{1,3,5,\dots\}$ پایان ندارد.
• دایره‌های به مرکز مبدأ: برای هر شعاع مثبت یک دایره داریم.
• کسرهای مثبت با صورت یک: $\frac11,\frac12,\frac13,\dots$ پایان ندارد.
• مضرب‌های طبیعی عدد ۱۰: $10,20,30,\dots$ پایان ندارد.
• بازهٔ $(0,1)$: بین هر دو عدد حقیقی، بی‌شمار عدد دیگر هست.

گام ۳: مجموعه‌های متناهی و تعداد اعضایشان:

• اعداد اول یک رقمی: $\{2,3,5,7\}$ که ۴ عضو دارد.
• اعداد طبیعی ده رقمی: از $10^9$ تا $10^{10}-1$ هستند، پس تعداد آنها $10^{10}-10^9=9\times10^9$ است.

گام ۴: مجموعه‌های متناهی با تعداد تقریبی اعضا:

• انسان‌های روی زمین: حدود $8\times10^{9}$ نفر.
• سلول‌های عصبی مغز یک انسان: حدود $8/6\times10^{10}$ (حدود ۸۶ میلیارد).
• دانش‌آموزان مدرسهٔ شما: عددی مشخص و کم، مثلاً حدود ۵۰۰ نفر (به مدرسه بستگی دارد).
• درخت‌های جنگل‌های آمازون: حدود $3/9\times10^{11}$ (طبق متن کتاب).
• مولکول‌های یک مول آب: حدود $6/022\times10^{23}$.

گام ۵: جدول:

گام ۱: مجموعهٔ متناهی مجموعه‌ای است که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی باشد، یعنی بتوان تعداد اعضایش را با یک عدد بیان کرد.

گام ۲: مثال اول: مجموعهٔ اعداد اول یک رقمی $A=\{2, 3, 5, 7\}$ که ۴ عضو دارد.

گام ۳: مثال دوم: مجموعهٔ دانش‌آموزان یک کلاس (مثلاً کلاسی با ۳۰ دانش‌آموز)؛ تعداد اعضای آن عددی حسابی است، پس متناهی است.

گام ۴: مثال‌های دیگر هم درست‌اند، مانند $\{1, 2, 3\}$ یا مجموعهٔ ارقام عدد ۲۵۳۸.

گام ۱: باید دو مجموعهٔ نامتناهی پیدا کنیم که یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. مجموعهٔ اعداد طبیعی و مجموعهٔ اعداد صحیح را در نظر می‌گیریم.

گام ۲: هر دو مجموعه نامتناهی‌اند، چون تعداد اعضای هر کدام از هر عددی بزرگ‌تر است: $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ و $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$.

گام ۳: هر عدد طبیعی یک عدد صحیح هم هست، پس $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$.

گام ۴: مثال دیگر: بازهٔ $(0,1)$ و بازهٔ $(0,2)$؛ هر دو نامتناهی‌اند و $(0,1)\subseteq(0,2)$. (پاسخ‌های دیگر نیز ممکن است.)

گام ۱: باید دو مجموعهٔ نامتناهی $A$ و $B$ بیابیم که $A \subseteq B$ باشد و $B - A$ فقط یک عضو داشته باشد؛ یعنی $B$ از $A$ فقط یک عضو بیشتر داشته باشد.

گام ۲: مجموعهٔ اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ را برای $B$ و مجموعهٔ اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را برای $A$ انتخاب می‌کنیم:

گام ۳: هر دو مجموعه نامتناهی‌اند و هر عضو $A$ در $B$ هم هست، پس $A \subseteq B$. تنها عضوی از $B$ که در $A$ نیست عدد ۱ است:

که تک‌عضوی است.

گام ۴: پاسخ‌های دیگر هم ممکن است؛ مثلاً $A=(0,1)$ و $B=[0,1)$ که در آن $B-A=\{0\}$.