ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

حل تمرین صفحه ۵ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۴ تمرین صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید:
الف) $\frac{4}{3} \in [\frac{1}{2}, 2)$
ب) $-2 \in (-2, 0]$
پ) $0 \in (-2, 0]$
ت) $-2 \in \{-2, 0\}$
ث) $-1 \in \{-2, 0\}$
ج) $[-1, 2) \subseteq (-1, 2)$
چ) $\{0, 1\} \subseteq [-1, 2)$
ح) $\varnothing \subseteq [-17, 0]$
خ) $(2, 5] = [2, 5)$
د) $\sqrt{2} \in (0, 1)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در بازهٔ $[a,b)$ عدد $a$ عضو بازه است و $b$ عضو آن نیست. در بازهٔ $(a,b]$ عکس این است.

گام ۲: الف) چون $\frac{1}{2} \le \frac{4}{3} < 2$ است، عبارت درست است.
ب) $-2$ ابتدای بازهٔ باز $(-2,0]$ است و عضو آن نیست، پس نادرست است.
پ) $-2 < 0 \le 0$ است و $0$ انتهای بسته است، پس درست است.

گام ۳: ت) $-2$ یکی از اعضای مجموعهٔ $\{-2,0\}$ است، پس درست است.
ث) $-1$ در مجموعهٔ $\{-2,0\}$ نیست، پس نادرست است.

گام ۴: ج) $-1 \in [-1,2)$ است ولی $-1 \notin (-1,2)$ . پس $[-1,2)$ زیرمجموعهٔ $(-1,2)$ نیست و عبارت نادرست است.
چ) هر دو عدد $0$ و $1$ در $[-1,2)$ هستند، پس درست است.
ح) مجموعهٔ تهی زیرمجموعهٔ هر مجموعه‌ای است، پس درست است.

گام ۵: خ) $2 \in [2,5)$ است ولی $2 \notin (2,5]$ . همچنین $5 \in (2,5]$ است ولی $5 \notin [2,5)$ . پس دو مجموعه برابر نیستند و عبارت نادرست است.
د) $\sqrt{2} \approx 1/414$ است و از $1$ بزرگ‌تر است. پس $\sqrt{2} \notin (0,1)$ و عبارت نادرست است.

جواب نهایی

الف) درست
ب) نادرست
پ) درست
ت) درست
ث) نادرست
ج) نادرست
چ) درست
ح) درست
خ) نادرست
د) نادرست

کار در کلاس، سؤال ۲

هر یک از اعداد زیر عضو یک یا چند تا از بازه‌های داده شده هستند. هر عدد را به بازه یا بازه‌های نظیر آن وصل کنید.

$-2$ \qquad $\sqrt{3}$ \qquad $-500$ \qquad $-\frac{5}{4}$ \qquad $6/022 \times 10^{23}$ \qquad $0/2$

$[1, 4]$ \qquad $(-\infty, -4)$ \qquad $[-2, 0)$ \qquad $[3, +\infty)$ \qquad $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ \qquad $(-2, 3)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: هر عدد را با دو سر هر بازه مقایسه می‌کنیم و به باز یا بسته بودن سرها توجه می‌کنیم. تقریب‌ها: $\sqrt{3}\approx 1/73$ و $-\frac{5}{4}=-1/25$ .

گام ۲: عدد $-2$ در $[-2,0)$ هست، چون سر چپ بسته است. در $(-2,3)$ نیست، چون این سر باز است. در بقیهٔ بازه‌ها هم نیست.

گام ۳: عدد $\sqrt{3}$ بین ۱ و ۴ است، پس در $[1,4]$ قرار دارد. چون $\sqrt{3}<3$ و $\sqrt{3}>-2$ ، در $(-2,3)$ هم هست. در $[3,+\infty)$ نیست، چون از ۳ کوچک‌تر است.

گام ۴: عدد $-500$ از $-4$ کوچک‌تر است، پس فقط در $(-\infty,-4)$ قرار دارد.

گام ۵: عدد $-\frac{5}{4}=-1/25$ بین $-2$ و $0$ است، پس در $[-2,0)$ و در $(-2,3)$ قرار دارد. در $(-\frac12,\frac12]$ نیست، چون از $-\frac12$ کوچک‌تر است.

گام ۶: عدد $6/022\times10^{23}$ از ۳ بزرگ‌تر است، پس فقط در $[3,+\infty)$ قرار دارد.

گام ۷: عدد $0/2$ بین $-\frac12$ و $\frac12$ است، پس در $(-\frac12,\frac12]$ و در $(-2,3)$ قرار دارد. در $[1,4]$ نیست، چون از ۱ کوچک‌تر است.

جواب نهایی

1) $-2$ ← $[-2,0)$
2) $\sqrt{3}$ ← $[1,4]$ و $(-2,3)$
3) $-500$ ← $(-\infty,-4)$
4) $-\frac{5}{4}$ ← $[-2,0)$ و $(-2,3)$
5) $6/022\times10^{23}$ ← $[3,+\infty)$
6) $0/2$ ← $(-\frac12,\frac12]$ و $(-2,3)$

کار در کلاس، سؤال ۳

نمایش هندسی دو بازهٔ $A = (-4, 2]$ و $B = [-1, 3)$ را روی محور زیر رسم کنید و سپس حاصل عبارت‌های زیر را بنویسید.

[شکل: محور اعداد حقیقی]

الف) $A \cap B$ \qquad ب) $A \cup B$ \qquad پ) $A - B$ \qquad ت) $B - A$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: روی محور، بازهٔ $A=(-4,2]$ را از $-4$ تا $2$ نشان می‌دهیم. دایرهٔ توخالی در $-4$ و دایرهٔ توپر در $2$ قرار می‌گیرد. بازهٔ $B=[-1,3)$ را از $-1$ تا $3$ نشان می‌دهیم. دایرهٔ توپر در $-1$ و دایرهٔ توخالی در $3$ قرار می‌گیرد. (برای $B$ خطی جداگانه زیر $A$ رسم می‌شود.)

گام ۲: اشتراک $A$ و $B$ بخشی است که هر دو بازه را می‌پوشانند، یعنی از $-1$ تا $2$ . عدد $-1$ در $B$ است و در $A$ هم هست. عدد $2$ در $A$ است و در $B$ هم هست. پس هر دو سر بسته‌اند:

A\cap B=[-1,2]

گام ۳: اجتماع، همهٔ نقاطی است که در دست‌کم یکی از دو بازه‌اند. از $-4$ (بدون خود آن) شروع می‌شود و تا $3$ (بدون خود آن) ادامه دارد:

A\cup B=(-4,3)

گام ۴: $A-B$ اعضایی از $A$ است که در $B$ نیستند. این اعداد کوچک‌تر از $-1$ و بزرگ‌تر از $-4$ هستند. عدد $-1$ در $B$ است، پس حذف می‌شود:

A-B=(-4,-1)

گام ۵: $B-A$ اعضایی از $B$ است که در $A$ نیستند. این اعداد بزرگ‌تر از $2$ و کوچک‌تر از $3$ هستند. عدد $2$ در $A$ است، پس حذف می‌شود:

B-A=(2,3)

جواب نهایی

الف) $A\cap B=[-1,2]$
ب) $A\cup B=(-4,3)$
پ) $A-B=(-4,-1)$
ت) $B-A=(2,3)$

فعالیت

فرض کنید $A$ مجموعهٔ اعداد طبیعی کمتر از ۴ و $B$ مجموعهٔ اعداد صحیح کمتر از ۴ باشد.
الف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.
$A = \{$ \qquad $\}$
$B = \{$ \qquad $\}$
ب) $A$ چند عضو دارد؟
پ) دربارهٔ تعداد اعضای $B$ چه می‌توان گفت؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: اعداد طبیعی از ۱ شروع می‌شوند، پس اعداد طبیعی کمتر از ۴ برابرند با ۱ و ۲ و ۳.

A=\{1,2,3\}

گام ۲: اعداد صحیح کمتر از ۴ شامل ۳ و ۲ و ۱ و ۰ و ۱- و ۲- و … هستند و به سمت چپ تمام نمی‌شوند.

B=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3\}

گام ۳: (ب) اعضای $A$ را می‌شماریم: ۱ و ۲ و ۳، یعنی ۳ عضو.

گام ۴: (پ) در $B$ همیشه عدد صحیح کوچک‌تری مثل ۴-، ۵-، ۱۰۰- و … وجود دارد. پس تعداد اعضای $B$ را نمی‌توان با یک عدد حسابی بیان کرد و از هر عددی که در نظر بگیریم بیشتر است. $B$ متناهی نیست و یک مجموعهٔ نامتناهی است.

جواب نهایی

الف) $A=\{1,2,3\}$ و $B=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$
ب) $A$ سه عضو دارد.
پ) تعداد اعضای $B$ از هر عددی بیشتر است؛ $B$ مجموعه‌ای نامتناهی است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۵ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس