تساویهای زیر را مانند نمونه بهصورت رادیکالی بنویسید. ۳^{\frac{۵}{۴}} = \sqrt[۴]{۳^۵} = \sqrt[۴]{۳^۴ \times ۳} = \sqrt[۴]{۳^۴} \times \sqrt[۴]{۳} = ۳\sqrt[۴]{۳} \qquad\qquad ۳^{\frac{۲}{۵}} = \sqrt[۵]{۳^۲} (۴ \times ۲)^{\frac{۱}{۳}} = \qquad\qquad ۲^{\frac{۲}{۳}} \times ۲^{\frac{۱}{۲}} = \qquad\qquad ۴^{-\frac{۱}{۵}} = ۶^{\frac{۳}{۸}} = \qquad\qquad (۱۶^{\frac{۱}{۳}})^{\frac{۳}{۴}} = \qquad\qquad ۵^{-\frac{۴}{۳}} =

۱) (۴\times۲)^{\frac{۱}{۳}}=\sqrt[۳]{۸}=۲ ۲) ۲^{\frac{۲}{۳}}\times۲^{\frac{۱}{۲}}=\sqrt[۳]{۴}\times\sqrt{۲}=\sqrt[۶]{۲^۷}=۲\sqrt[۶]{۲} ۳) ۴^{-\frac{۱}{۵}}=\frac{۱}{\sqrt[۵]{۴}} ۴) ۶^{\frac{۳}{۸}}=\sqrt[۸]{۶^۳}=\sqrt[۸]{۲۱۶} ۵) (۱۶^{\frac{۱}{۳}})^{\frac{۳}{۴}}=\sqrt[۴]{۱۶}=۲ ۶) ۵^{-\frac{۴}{۳}}=\frac{۱}{\sqrt[۳]{۵^۴}}=\frac{۱}{۵\sqrt[۳]{۵}}

رادیکالها را در صورت امکان به شکل توان کسری بنویسید. \sqrt[۳]{۷^۲} = \qquad\qquad \sqrt{۲^۵} = \qquad\qquad \sqrt[۷]{۳^۲} = ۳^{\frac{۲}{۷}} \sqrt[۴]{۲^۵} = \qquad\qquad \sqrt[۶]{۶۴} = \qquad\qquad \sqrt[۵]{۱۹} =

۱) \sqrt[۳]{۷^۲}=۷^{\frac{۲}{۳}} ۲) \sqrt{۲^۵}=۲^{\frac{۵}{۲}} ۳) \sqrt[۴]{۲^۵}=۲^{\frac{۵}{۴}} ۴) \sqrt[۶]{۶۴}=۶۴^{\frac{۱}{۶}}=۲ ۵) \sqrt[۵]{۱۹}=۱۹^{\frac{۱}{۵}}

هر یک از توانهای کسری زیر را بهصورت رادیکال نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را بهدست آورید. ۴^{\frac{۳}{۷}} = \qquad\qquad ۵^{\frac{۱}{۲}} = \qquad\qquad ۱۶^{\frac{۱}{۲}} = ۴^{-\frac{۲}{۳}} = \qquad\qquad (۴۲)^{\frac{۱}{۳}} = \qquad\qquad ۳^{\frac{۱}{۳}} \times ۳^{\frac{۲}{۳}} = ۱۲۵^{-\frac{۲}{۳}} = \qquad\qquad ۳۲^{\frac{۲}{۵}} = \qquad\qquad ۳۲^{-\frac{۱}{۵}} =

1) ۴^{\frac{۳}{۷}}=\sqrt[۷]{۶۴}؛ ۵^{\frac{۱}{۲}}=\sqrt{۵}؛ ۱۶^{\frac{۱}{۲}}=۴؛ ۴^{-\frac{۲}{۳}}=\dfrac{۱}{\sqrt[۳]{۱۶}}=\dfrac{۱}{۲\sqrt[۳]{۲}}؛ (۴۲)^{\frac{۱}{۳}}=\sqrt[۳]{۴۲}؛ ۳^{\frac{۱}{۳}}\times ۳^{\frac{۲}{۳}}=۳؛ ۱۲۵^{-\frac{۲}{۳}}=\dfrac{۱}{۲۵}؛ ۳۲^{\frac{۲}{۵}}=۴؛ ۳۲^{-\frac{۱}{۵}}=\dfrac{۱}{۲}

حساب کنید. \sqrt{\sqrt{۸۱}} = \qquad\qquad \sqrt[۳]{\sqrt{۶۴}} = \qquad\qquad \sqrt[۳]{\sqrt{۵}} =

1) \sqrt{\sqrt{۸۱}} = ۳ 2) \sqrt[۳]{\sqrt{۶۴}} = ۲ 3) \sqrt[۳]{\sqrt{۵}} = \sqrt[۶]{۵} = ۵^{\frac{۱}{۶}}

ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

حل تمرین صفحه ۶۱ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۷ تمرین صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

تساوی‌های زیر را مانند نمونه به‌صورت رادیکالی بنویسید.

3^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{3^5} = \sqrt[4]{3^4 \times 3} = \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3} \qquad\qquad 3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2}

(4 \times 2)^{\frac{1}{3}} = \qquad\qquad 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} = \qquad\qquad 4^{-\frac{1}{5}} =

6^{\frac{3}{8}} = \qquad\qquad (16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}} = \qquad\qquad 5^{-\frac{4}{3}} =

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از قاعده $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ و قاعده $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$ استفاده می‌کنیم.

گام ۲: عبارت اول و دوم:

(4\times2)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4\times 2}=\sqrt[3]{8}=2

2^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt{2}=\sqrt[3]{4}\times\sqrt{2}

همچنین چون $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$ است، حاصل برابر است با $2^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{2^7}=2\sqrt[6]{2}$ .

گام ۳: عبارت سوم و چهارم:

4^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{4^{\frac{1}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{4}}

6^{\frac{3}{8}}=\sqrt[8]{6^3}=\sqrt[8]{216}

گام ۴: عبارت پنجم: نماها را در هم ضرب می‌کنیم، $\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ . پس

(16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}}=16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2

گام ۵: عبارت ششم:

5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^3\times 5}}=\frac{1}{5\sqrt[3]{5}}

جواب نهایی

۱) $(4\times2)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
۲) $2^{\frac{2}{3}}\times2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{4}\times\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^7}=2\sqrt[6]{2}$
۳) $4^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$
۴) $6^{\frac{3}{8}}=\sqrt[8]{6^3}=\sqrt[8]{216}$
۵) $(16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$
۶) $5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}=\frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

کار در کلاس، سؤال ۲

رادیکال‌ها را در صورت امکان به شکل توان کسری بنویسید.

\sqrt[3]{7^2} = \qquad\qquad \sqrt{2^5} = \qquad\qquad \sqrt[7]{3^2} = 3^{\frac{2}{7}}

\sqrt[4]{2^5} = \qquad\qquad \sqrt[6]{64} = \qquad\qquad \sqrt[5]{19} =

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از تعریف $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ استفاده می‌کنیم. فرجه رادیکال مخرج نما و توان زیر رادیکال صورت نما می‌شود.

گام ۲: $\sqrt[3]{7^2}=7^{\frac{2}{3}}$ و $\sqrt{2^5}=2^{\frac{5}{2}}$ (فرجه ۲ است).

گام ۳: $\sqrt[4]{2^5}=2^{\frac{5}{4}}$

گام ۴: برای $\sqrt[6]{64}$ داریم $64=2^6$ . پس

\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2^{\frac{6}{6}}=2

همچنین می‌توان آن را به‌صورت $64^{\frac{1}{6}}$ نوشت.

گام ۵: عدد ۱۹ اول است و توان صحیحی از عدد دیگر نیست. پس فقط می‌نویسیم $\sqrt[5]{19}=19^{\frac{1}{5}}$ .

جواب نهایی

۱) $\sqrt[3]{7^2}=7^{\frac{2}{3}}$
۲) $\sqrt{2^5}=2^{\frac{5}{2}}$
۳) $\sqrt[4]{2^5}=2^{\frac{5}{4}}$
۴) $\sqrt[6]{64}=64^{\frac{1}{6}}=2$
۵) $\sqrt[5]{19}=19^{\frac{1}{5}}$

کار در کلاس، سؤال ۳

با استفاده از نمای کسری نشان دهید که $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ است. تساوی را کامل کنید ( $a > \circ$ ).

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}} = (a^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \dots\dots

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: رادیکال داخلی را با نمای کسری می‌نویسیم:

\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

بنابراین $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}}$ .

گام ۲: رادیکال بیرونی را هم به صورت توان $\frac{1}{m}$ می‌نویسیم:

\sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}}

گام ۳: طبق قاعدهٔ $(a^r)^s = a^{rs}$ نماها در هم ضرب می‌شوند:

\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n}\times\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}}

گام ۴: طبق تعریف توان کسری، $a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a}$ . پس تساوی کامل می‌شود:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{\frac{1}{n}}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a}

جواب نهایی

$a^{\frac{1}{mn}} = \sqrt[mn]{a}$ (و در نتیجه $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ )

تمرین ۱

هر یک از توان‌های کسری زیر را به‌صورت رادیکال نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را به‌دست آورید.

4^{\frac{3}{7}} = \qquad\qquad 5^{\frac{1}{2}} = \qquad\qquad 16^{\frac{1}{2}} =

4^{-\frac{2}{3}} = \qquad\qquad (42)^{\frac{1}{3}} = \qquad\qquad 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} =

125^{-\frac{2}{3}} = \qquad\qquad 32^{\frac{2}{5}} = \qquad\qquad 32^{-\frac{1}{5}} =

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از تعریف $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$ و $a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ استفاده می‌کنیم.

گام ۲: ردیف اول:

$4^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{4^3}=\sqrt[7]{64}$ . این عدد گویا نیست، پس همین شکل پایانی است.
$5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ . این عدد هم گویا نیست.
$16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$

گام ۳: ردیف دوم:

$4^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4^2}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}}=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}$
$(42)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{42}$ . این عدد ساده‌تر نمی‌شود.
$3^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=3^1=3$

گام ۴: ردیف سوم:

$125^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{125})^2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}$
$32^{\frac{2}{5}}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$
$32^{-\frac{1}{5}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{32}}=\dfrac{1}{2}$

جواب نهایی

1) $4^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{64}$ ؛ $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ ؛ $16^{\frac{1}{2}}=4$ ؛ $4^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}}=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}$ ؛ $(42)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{42}$ ؛ $3^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{2}{3}}=3$ ؛ $125^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{25}$ ؛ $32^{\frac{2}{5}}=4$ ؛ $32^{-\frac{1}{5}}=\dfrac{1}{2}$

تمرین ۲

می‌دانیم

\sqrt[12]{a^4} = (a^4)^{\frac{1}{12}} = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a} \qquad\qquad \sqrt[6]{a^2} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}

آیا تساوی $\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}$ همواره برقرار است ( $a > \circ$ )؟ $m$ ، $n$ و $k$ طبیعی‌اند نتیجه بگیرید که هر سه عدد $\sqrt{2}$ ، $\sqrt[4]{2^2}$ و $\sqrt[6]{2^3}$ برابرند.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ابتدا $\sqrt[kn]{a^{km}}$ را به توان کسری تبدیل می‌کنیم. طبق تعریف:

\sqrt[kn]{a^{km}} = (a^{km})^{\frac{1}{kn}} = a^{\frac{km}{kn}}

گام ۲: چون $k$ عددی طبیعی و مخالف صفر است، می‌توان $k$ را از صورت و مخرج ساده کرد:

a^{\frac{km}{kn}} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

پس تساوی $\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}$ به‌ازای هر $a>0$ و همهٔ اعداد طبیعی $m$ ، $n$ و $k$ همواره برقرار است.

گام ۳: حالا $\sqrt{2}$ را به صورت توان کسری می‌نویسیم:

\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}

گام ۴: برای $\sqrt[4]{2^2}$ داریم (با $k=2$ ، $n=2$ و $m=1$ در تساوی بالا، یا مستقیماً):

\sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}

گام ۵: برای $\sqrt[6]{2^3}$ داریم:

\sqrt[6]{2^3} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}

پس هر سه عدد برابر $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ هستند.

جواب نهایی

2) بله، تساوی همواره برقرار است زیرا $\sqrt[kn]{a^{km}}=a^{\frac{km}{kn}}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ ؛ و $\sqrt{2}=\sqrt[4]{2^2}=\sqrt[6]{2^3}=2^{\frac{1}{2}}$ .

تمرین ۳

فرض کنیم $a = 64$ ، $r = \frac{1}{2}$ و $s = \frac{1}{3}$ مقدارهای عددی $\frac{a^r}{a^s}$ و $a^{r-s}$ را محاسبه و با هم مقایسه کنید.
اکنون خودتان، مانند نمونه سه مقدار دیگر برای $a$ ، $r$ و $s$ انتخاب کنید و بار دیگر مقدارهای $\frac{a^r}{a^s}$ و $a^{r-s}$ را محاسبه و با هم مقایسه کنید. می‌توانید از ماشین حساب کمک بگیرید. چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: برای $a=64$ ، $r=\frac{1}{2}$ و $s=\frac{1}{3}$ ابتدا صورت و مخرج را جدا حساب می‌کنیم:

a^r = 64^{\frac12}=\sqrt{64}=8 \qquad a^s = 64^{\frac13}=\sqrt[3]{64}=4

\frac{a^r}{a^s}=\frac{8}{4}=2

گام ۲: ابتدا $r-s=\frac12-\frac13=\frac16$ را حساب می‌کنیم:

a^{r-s}=64^{\frac16}=\sqrt[6]{2^6}=2

پس $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}=2$ و دو مقدار برابرند.

گام ۳: سه مثال دیگر (انتخاب دانش‌آموز آزاد است):

$a=16$ ، $r=\frac34$ ، $s=\frac12$ : $\frac{16^{3/4}}{16^{1/2}}=\frac{8}{4}=2$ و $16^{\frac34-\frac12}=16^{\frac14}=2$ .
$a=81$ ، $r=\frac34$ ، $s=\frac12$ : $\frac{27}{9}=3$ و $81^{\frac14}=3$ .
$a=32$ ، $r=\frac45$ ، $s=\frac25$ : $\frac{16}{4}=4$ و $32^{\frac25}=4$ .

در هر سه مثال دو مقدار با هم برابر شدند.

گام ۴: نتیجه: برای $a>0$ و دو عدد گویای $r$ و $s$ داریم

\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}

یعنی قاعدهٔ تقسیم توان‌ها برای نماهای گویا هم برقرار است. دلیل آن این است که $\frac{a^r}{a^s}=a^r\times a^{-s}=a^{r-s}$ .

جواب نهایی

برای $a=64$ ، $r=\frac12$ ، $s=\frac13$ : $\frac{a^r}{a^s}=2$ و $a^{r-s}=2$ ، پس برابرند.
مثال‌های دیگر (پاسخ آزاد است): $a=16$ با $r=\frac34$ و $s=\frac12$ جواب ۲؛ $a=81$ با $r=\frac34$ و $s=\frac12$ جواب ۳؛ $a=32$ با $r=\frac45$ و $s=\frac25$ جواب ۴.
نتیجه: $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$

تمرین ۴

حساب کنید.

\sqrt{\sqrt{81}} = \qquad\qquad \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \qquad\qquad \sqrt[3]{\sqrt{5}} =

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از رابطهٔ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ (کار در کلاس ۳) استفاده می‌کنیم؛ یعنی دو رادیکال تو در تو را با نمای کسری به یک رادیکال تبدیل می‌کنیم.

گام ۲: عبارت اول:

\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3

گام ۳: عبارت دوم:

\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2

(یا: $\sqrt{64}=8$ و $\sqrt[3]{8}=2$ )

گام ۴: عبارت سوم:

\sqrt[3]{\sqrt{5}} = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}

عدد ۵ توان ششم کامل یک عدد طبیعی نیست، پس حاصل را فقط به صورت $\sqrt[6]{5}$ می‌نویسیم.

جواب نهایی

1) $\sqrt{\sqrt{81}} = 3$
2) $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = 2$
3) $\sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}}$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۶۱ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس