هریک از عبارتهای زیر را به شکل رادیکالی نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را بهدست آورید. ۲^{\frac{۱}{۳}} = \sqrt[۳]{۲} \qquad\qquad ۳^{\frac{۱}{۲}} = \qquad\qquad ۶۴^{\frac{۱}{۶}} = ۵^{\frac{۱}{۷}} = \qquad\qquad ۶^{\frac{۱}{۴}} = \qquad\qquad ۸۱^{\frac{۱}{۴}} =

۲^{\frac{۱}{۳}}=\sqrt[۳]{۲} (مثال دادهشده) ۳^{\frac{۱}{۲}}=\sqrt{۳} ۶۴^{\frac{۱}{۶}}=\sqrt[۶]{۶۴}=۲ ۵^{\frac{۱}{۷}}=\sqrt[۷]{۵} ۶^{\frac{۱}{۴}}=\sqrt[۴]{۶} ۸۱^{\frac{۱}{۴}}=\sqrt[۴]{۸۱}=۳

ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

حل تمرین صفحه ۶۰ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۶۰ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

هریک از عبارت‌های زیر را به شکل رادیکالی نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را به‌دست آورید.

2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \qquad\qquad 3^{\frac{1}{2}} = \qquad\qquad 64^{\frac{1}{6}} =

5^{\frac{1}{7}} = \qquad\qquad 6^{\frac{1}{4}} = \qquad\qquad 81^{\frac{1}{4}} =

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: طبق تعریف، برای $a>0$ داریم $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ . پس هر عبارت را با همین قاعده به شکل رادیکالی می‌نویسیم.

گام ۲: عبارت‌هایی که فقط به شکل رادیکالی درمی‌آیند و مقدار دقیق ساده‌ای ندارند:

3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\qquad 5^{\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{5}\qquad 6^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{6}

چون ۳ مربع کامل نیست، ۵ توان هفتم هیچ عدد صحیحی نیست و ۶ توان چهارم هیچ عدد صحیحی نیست، پس حاصل آنها عدد صحیح نمی‌شود.

گام ۳: $64^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{64}$ . چون $64=2^6$ است:

\sqrt[6]{2^6}=2

گام ۴: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}$ . چون $81=3^4$ است:

\sqrt[4]{3^4}=3

جواب نهایی

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$ (مثال داده‌شده)
$3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
$64^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{64}=2$
$5^{\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{5}$
$6^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{6}$
$81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$

فعالیت

حاصل $a^{\frac{m}{n}}$ که $a > \circ$ و $m$ و $n$ دو عدد طبیعی هستند را چگونه حساب می‌کنیم؟
در مبحث توان با نماهای طبیعی یادتان هست چگونه عمل کردیم؟

2^6 = 2^{2 \times 3} = (2^2)^3 \qquad \text{(قاعده ضرب توان)}

در مورد توان‌های گویا هم می‌توانیم به طریق مشابه عمل کنیم:

2^{\frac{2}{3}} = 2^{2 \times \frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2^2} \qquad\qquad 5^{\frac{8}{3}} = 5^{8 \times \frac{1}{3}} = (5^8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^8}

به‌طور کلی:

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در توان‌های طبیعی از قاعدهٔ ضرب توان استفاده کردیم: $(a^m)^k = a^{mk}$ . مثلاً $2^6 = (2^2)^3$ . همین کار را برای توان‌های گویا هم انجام می‌دهیم.

گام ۲: نمای کسری $\frac{m}{n}$ را به صورت ضرب $m \times \frac{1}{n}$ می‌نویسیم:

a^{\frac{m}{n}} = a^{m \times \frac{1}{n}}

گام ۳: با قاعدهٔ ضرب توان، $a^m$ را به توان $\frac{1}{n}$ می‌رسانیم:

a^{m \times \frac{1}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}

گام ۴: طبق تعریف $b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ برای $b = a^m$ که مثبت است، داریم:

(a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

گام ۵: این رابطه با مثال‌های کتاب هم می‌خواند: $2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2}$ و $5^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{5^8}$ . ترتیب ضرب نمادها را می‌توان عوض کرد: $m \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \times m$ . پس $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (\sqrt[n]{a})^m$ هم برقرار است.

جواب نهایی

به‌طور کلی برای $a>0$ و عددهای طبیعی $m$ و $n$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۶۰ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس