پدر محمد یک زیستشناس است و در یک آزمایشگاه پزشکی کار میکند. در آزمایشی یک نوع باکتری کشت داده شده که در شرایط مساعد، جرم این باکتریها در هر ساعت ۲ برابر میشود. جرم باکتریها در لحظهٔ شروع ۱ گرم است؛ بنابراین جرم باکتریها پس از یک ساعت ۲ گرم، پس از ۲ ساعت برابر ۴ گرم، و پس از ساعت nام برابر ۲^n گرم میشود: ۱, ۲^۱, ۲^۲, ۲^۳, \dots, ۲^n محمد از پدرش پرسید: «آیا حتماً تا پایان ساعت باید منتظر بمانیم؟ آیا میتوانیم جرم باکتریها را پس از نیم ساعت محاسبه کنیم؟» پدرش گفت: تو فکر میکنی جرم باکتریها پس از نیم ساعت چقدر میشود؟ محمد گفت: حدس میزنم جرم آنها ۲^{\frac{۱}{۲}} گرم شده باشد. چون نیم همان \frac{۱}{۲} است. پدرش گفت: ۲^{\frac{۱}{۲}} چقدر است؟ محمد گفت: نمیدانم ولی باید بتوانیم مقدار آن را پیدا کنیم. اگر فرض کنیم در هر نیمساعت جرم باکتریها b برابر شود، در اینصورت بعد از یک ساعت جرم باکتریها باید برابر b^۲ = b \times b شود. اما میدانیم پس از یک ساعت جرم باکتریها دو برابر میشوند؛ پس b^۲ = ۲؛ یعنی b = \sqrt{۲} (زیرا b مثبت است). نتیجهٔ جالبی است! ۲^{\frac{۱}{۲}} = \sqrt{۲}. مشابه این رابطه را میتوانیم برای توانهای دیگر نیز تعریف کنیم: ۲^{\frac{۱}{۳}} = \sqrt[۳]{۲}، ۲^{\frac{۱}{۴}} = \sqrt[۴]{۲}؛ همچنین برای عددهای دیگر ۵^{\frac{۱}{۳}} = \sqrt[۳]{۵}. میتوانیم نماهای کسری با صورت ۱ را تعریف کنیم. a عددی حقیقی و مثبت است.

حل تمرین صفحه ۵۹ ریاضی دهم (گام به گام)

حل تمرین صفحه ۵۹ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۱ تمرین صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

پدر محمد یک زیست‌شناس است و در یک آزمایشگاه پزشکی کار می‌کند. در آزمایشی یک نوع باکتری کشت داده شده که در شرایط مساعد، جرم این باکتری‌ها در هر ساعت ۲ برابر می‌شود. جرم باکتری‌ها در لحظهٔ شروع ۱ گرم است؛ بنابراین جرم باکتری‌ها پس از یک ساعت ۲ گرم، پس از ۲ ساعت برابر ۴ گرم، و پس از ساعت $n$ ام برابر $2^n$ گرم می‌شود:

1, 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^n

محمد از پدرش پرسید: «آیا حتماً تا پایان ساعت باید منتظر بمانیم؟ آیا می‌توانیم جرم باکتری‌ها را پس از نیم ساعت محاسبه کنیم؟»
پدرش گفت: تو فکر می‌کنی جرم باکتری‌ها پس از نیم ساعت چقدر می‌شود؟
محمد گفت: حدس می‌زنم جرم آنها $2^{\frac{1}{2}}$ گرم شده باشد. چون نیم همان $\frac{1}{2}$ است.
پدرش گفت: $2^{\frac{1}{2}}$ چقدر است؟
محمد گفت: نمی‌دانم ولی باید بتوانیم مقدار آن را پیدا کنیم.
اگر فرض کنیم در هر نیم‌ساعت جرم باکتری‌ها $b$ برابر شود، در این‌صورت بعد از یک ساعت جرم باکتری‌ها باید برابر $b^2 = b \times b$ شود. اما می‌دانیم پس از یک ساعت جرم باکتری‌ها دو برابر می‌شوند؛ پس $b^2 = 2$ ؛ یعنی $b = \sqrt{2}$ (زیرا $b$ مثبت است).
نتیجهٔ جالبی است! $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ . مشابه این رابطه را می‌توانیم برای توان‌های دیگر نیز تعریف کنیم: $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ ، $2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$ ؛ همچنین برای عددهای دیگر $5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}$ . می‌توانیم نماهای کسری با صورت ۱ را تعریف کنیم. $a$ عددی حقیقی و مثبت است.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: جرم باکتری‌ها پس از $n$ ساعت برابر $2^n$ گرم است. می‌خواهیم جرم را پس از نیم ساعت، یعنی $2^{\frac{1}{2}}$ ، پیدا کنیم.

گام ۲: فرض می‌کنیم در هر نیم‌ساعت جرم باکتری‌ها $b$ برابر شود. بعد از دو نیم‌ساعت (یک ساعت) جرم $b\times b=b^2$ برابر می‌شود. چون در یک ساعت جرم دو برابر می‌شود، داریم $b^2=2$ .

گام ۳: چون $b$ مثبت است، $b=\sqrt{2}$ . پس $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx 1/41$ و جرم باکتری‌ها پس از نیم ساعت حدود $1/41$ گرم است. بررسی: $(1/41)^2\approx 2$ .

گام ۴: با همین روش، اگر در هر یک‌سوم ساعت جرم $c$ برابر شود، بعد از سه مرحله $c^3=2$ است، پس $c=\sqrt[3]{2}$ و $2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$ . به همین ترتیب برای هر عدد مثبت $a$ و هر عدد طبیعی $n\ge 2$ تعریف می‌کنیم:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

جواب نهایی

$2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx 1/41$ گرم؛ و در حالت کلی $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ (برای $a>0$ )

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.