حل تمرین صفحه ۵۸ ریاضی دهم

گام ۱: فرض می‌کنیم رادیکال با معنا باشد و قرار می‌دهیم $\sqrt[n]{a}=b$. یعنی $b$ عددی است که ریشهٔ $n$‌ام $a$ است.

گام ۲: طبق تعریف ریشه، از $\sqrt[n]{a}=b$ نتیجه می‌شود:

گام ۳: حالا به‌جای $b$ در رابطهٔ $a=b^n$ مقدار $\sqrt[n]{a}$ را می‌گذاریم:

گام ۴: پس برای هر $a$ و هر عدد طبیعی $n$ که $\sqrt[n]{a}$ تعریف شده باشد (مثلاً $n$ زوج و $a\ge 0$ یا $n$ فرد و $a$ دلخواه)، رابطهٔ $(\sqrt[n]{a})^n=a$ برقرار است.

گام ۱: برای نشان دادن برقرار نبودن تساوی، کافی است یک مثال نقض بیاوریم. ابتدا $n=3$ را می‌گیریم.

گام ۲: $a=1$ و $b=26$ را قرار می‌دهیم:

چون $2^3=8<26<27=3^3$، پس $2<\sqrt[3]{26}<3$ و سمت راست بین ۳ و ۴ است، یعنی برابر ۳ نیست.

گام ۳: برای $n=4$ می‌گیریم $a=1$ و $b=15$:

چون $1<15<16$، پس $1<\sqrt[4]{15}<2$ و سمت راست بین ۲ و ۳ است، پس با ۲ برابر نیست.

گام ۴: برای $n=5$ می‌گیریم $a=1$ و $b=31$:

چون $1<\sqrt[5]{31}<2$، سمت راست بین ۲ و ۳ است و با ۲ برابر نیست.

گام ۵: نتیجه این است که ریشهٔ $n$ام مجموع، برابر مجموع ریشه‌های $n$ام نیست. تساوی فقط در حالت‌های خاص برقرار می‌شود، مثلاً وقتی $a=0$ یا $b=0$.

گام ۱: مانند نمونه، ابتدا عدد زیر رادیکال را به شکل توان می‌نویسیم: $3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^4$. پس $\sqrt[4]{3^{-4}}=\sqrt[4]{\left(\dfrac13\right)^4}$. چون فرجه زوج و $\dfrac13>0$ است، نتیجه برابر $\dfrac13$ می‌شود.

گام ۲: برای $\sqrt[7]{\dfrac{1}{128}}$ توجه می‌کنیم که $128=2^7$. پس $\dfrac{1}{128}=\dfrac{1}{2^7}=\left(\dfrac12\right)^7$ و در نتیجه $\sqrt[7]{\left(\dfrac12\right)^7}=\dfrac12$.

گام ۳: برای $\sqrt[5]{2^{-5}}$ می‌نویسیم $2^{-5}=\dfrac{1}{2^5}=\left(\dfrac12\right)^5$. پس $\sqrt[5]{\left(\dfrac12\right)^5}=\dfrac12$.

گام ۴: بررسی: $\left(\dfrac13\right)^4=\dfrac1{81}=3^{-4}$ ✓ ، $\left(\dfrac12\right)^7=\dfrac1{128}$ ✓ ، $\left(\dfrac12\right)^5=2^{-5}$ ✓

گام ۱: برای الف) باید عددهایی بگیریم که هر دو طرف تساوی معنا داشته باشند و برابر شوند. مثلاً $a=8$، $b=27$ و $n=3$ را در نظر می‌گیریم.

گام ۲: طرف چپ را حساب می‌کنیم:

زیرا $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$.

گام ۳: طرف راست را حساب می‌کنیم:

هر دو طرف برابرند، پس تساوی برقرار است.

گام ۴: برای ب) باید حالتی بیابیم که تساوی برقرار نباشد. اگر $n$ زوج باشد و $a$ و $b$ هر دو منفی باشند، کسر $\frac{a}{b}$ مثبت است و طرف چپ معنا دارد، ولی ریشهٔ زوج عدد منفی تعریف‌نشده است و طرف راست معنا ندارد. مثلاً $a=-8$، $b=-2$ و $n=2$.

گام ۵: طرف چپ:

طرف راست:

که تعریف‌نشده است. پس تساوی برقرار نیست.

(جواب‌های دیگر هم ممکن است.)