حل تمرین صفحه ۵۷ ریاضی دهم

گام ۱: حالت $a \ge 0$ را بررسی می‌کنیم. برای $n$ زوج یا فرد داریم $\sqrt[n]{a^n}=a$ و $(\sqrt[n]{a})^n=a$، پس تساوی برقرار است.

گام ۲: حالت $a<0$ و $n$ فرد را بررسی می‌کنیم. ریشهٔ فرد برای عدد منفی تعریف شده است. مثلاً برای $n=3$ و $a=-2$:

در حالت کلی هر دو طرف برابر $a$ هستند، پس تساوی برقرار است.

گام ۳: حالت $a<0$ و $n$ زوج را بررسی می‌کنیم. مثلاً برای $n=4$ و $a=-2$:

اما $(\sqrt[4]{-2})^4$ تعریف‌نشده است، چون ریشهٔ زوج عدد منفی بی‌معناست.

گام ۴: در این حالت سمت چپ برابر $|a|$ است و سمت راست معنا ندارد، پس تساوی برقرار نیست.

گام ۱: قسمت (الف) را عددی حساب می‌کنیم. $\sqrt{4}=2$ و $\sqrt[3]{4}\approx 1/59$، پس $\sqrt[3]{4}<\sqrt{4}$. همچنین $4^2=16$ و $4^3=64$، پس $4^2<4^3$.

گام ۲: $\sqrt{0/5}\approx 0/71$ و $\sqrt[3]{0/5}\approx 0/79$ (زیرا $0/79^3\approx 0/5$)، پس $\sqrt[3]{0/5}>\sqrt{0/5}$. همچنین $(0/5)^2=0/25$ و $(0/5)^3=0/125$، پس $(0/5)^2>(0/5)^3$.

گام ۳: قسمت (ب) را با $0<a<1$ بررسی می‌کنیم. این حالت مانند $a=0/5$ است. با افزایش فرجه، ریشه بزرگ‌تر می‌شود (به عدد ۱ نزدیک‌تر می‌شود) و با افزایش توان، عدد کوچک‌تر می‌شود. پس $\sqrt[3]{a}>\sqrt{a}$ و $a^2>a^3$.

گام ۴: قسمت (پ) را با $a>1$ بررسی می‌کنیم. این حالت مانند $a=4$ است. با افزایش فرجه، ریشه کوچک‌تر می‌شود و با افزایش توان، عدد بزرگ‌تر می‌شود. پس $\sqrt[3]{a}<\sqrt{a}$ و $a^2<a^3$.

گام ۱: در هر مقایسه ابتدا هر توان را حساب می‌کنیم. توان زوج عدد منفی، مثبت و توان فرد آن، منفی می‌شود.

گام ۲: ستون اول:
$(-2)^2 = 4$ و $(-2)^3 = -8$، پس $(-2)^2 > (-2)^3$.
$(-2)^3 = -8$ و $(-2)^5 = -32$، پس $(-2)^3 > (-2)^5$.
$(-2)^4 = 16$ و $(-2)^2 = 4$، پس $(-2)^4 > (-2)^2$.

گام ۳: ستون دوم:
$(-0/5)^2 = 0/25$ و $(-0/5)^3 = -0/125$، پس $(-0/5)^2 > (-0/5)^3$.
$(-0/5)^3 = -0/125$ و $(-0/5)^5 = -0/03125$، پس $(-0/5)^3 < (-0/5)^5$.
$(0/5)^4 = 0/0625$ و $(-0/5)^2 = 0/25$، پس $(0/5)^4 < (-0/5)^2$.