ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

حل تمرین صفحه ۵۶ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۵۶ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

تمرین

درستی رابطهٔ $\sqrt[k]{a^m} = (\sqrt[k]{a})^m$ را با مقداردهی‌های مختلف به $k$ ، $m$ و $a$ بررسی کنید (اگر $k$ زوج باشد، $a$ باید مثبت باشد).

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از تعریف توان و ضرب ریشه‌ها استفاده می‌کنیم. می‌دانیم $\sqrt[k]{a}\times\sqrt[k]{b}=\sqrt[k]{ab}$ . پس برای $m$ بار ضرب:

(\sqrt[k]{a})^m=\underbrace{\sqrt[k]{a}\times\cdots\times\sqrt[k]{a}}_{m}=\sqrt[k]{a^m}

بنابراین رابطه برای هر $k$ و $m$ طبیعی برقرار است (اگر $k$ زوج باشد، $a>0$ ).

گام ۲: آزمایش با $k$ زوج: $k=4$ ، $m=3$ ، $a=16$ :

\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}=8،\qquad (\sqrt[4]{16})^3=2^3=8

هر دو برابرند.

گام ۳: آزمایش با $k$ فرد و $a$ مثبت: $k=3$ ، $m=2$ ، $a=8$ :

\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4،\qquad (\sqrt[3]{8})^2=2^2=4

گام ۴: آزمایش با $k$ فرد و $a$ منفی: $k=3$ ، $m=2$ ، $a=-8$ :

\sqrt[3]{(-8)^2}=\sqrt[3]{64}=4،\qquad (\sqrt[3]{-8})^2=(-2)^2=4

و برای $m=3$ : $\sqrt[3]{(-8)^3}=\sqrt[3]{-512}=-8$ و $(\sqrt[3]{-8})^3=(-2)^3=-8$ . باز هم برابرند.

گام ۵: نمونهٔ دیگر با $k=2$ ، $m=4$ ، $a=9$ : $\sqrt{9^4}=\sqrt{6561}=81$ و $(\sqrt 9)^4=3^4=81$ . در همهٔ مثال‌ها رابطه درست بود.

جواب نهایی

رابطهٔ $\sqrt[k]{a^m}=(\sqrt[k]{a})^m$ در همهٔ مقداردهی‌ها (با شرط $a>0$ برای $k$ زوج) برقرار است.

فعالیت، سؤال ۱

جدول زیر را کامل کنید.


$a \ge 0$	$n$ زوج	$n = 4$ $a = 2$	$\sqrt[4]{2^4} = 2$	$(	2	= 2)$
	$n$ فرد	$n = 3$ $a = 2$	$\sqrt[3]{2^3} =$
$a < 0$	$n$ زوج	$n = 4$ $a = -2$	$\sqrt[4]{(-2)^4} = 2$	$(	-2	= 2)$
	$n$ فرد	$n = 3$ $a = -2$	$\sqrt[3]{(-2)^3} =$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: سطر دوم ( $a=2$ و $n=3$ ): چون $2^3 = 8$ و $2^3 = 8$ است، پس $\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$ . در ستون آخر می‌نویسیم: $2$ (همان خود $a$ ).

گام ۲: سطر چهارم ( $a=-2$ و $n=3$ ): چون $(-2)^3 = -8$ و $(-2)^3=-8$ است، پس $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$ . این برابر خود $a$ است.

گام ۳: جدول کامل‌شده:


$a \ge 0$	$n$ زوج	$n = 4$ $a = 2$	$\sqrt[4]{2^4} = 2$	$(	2	= 2)$
	$n$ فرد	$n = 3$ $a = 2$	$\sqrt[3]{2^3} = 2$	$(a = 2)$
$a < 0$	$n$ زوج	$n = 4$ $a = -2$	$\sqrt[4]{(-2)^4} = 2$	$(	-2	= 2)$
	$n$ فرد	$n = 3$ $a = -2$	$\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$	$(a = -2)$

گام ۴: نتیجه: برای $n$ فرد، ریشهٔ $n$ ام توان $n$ ام عدد، خود عدد را برمی‌گرداند؛ برای $n$ زوج، حاصل همیشه نامنفی است و برابر $|a|$ می‌شود.

جواب نهایی

1) $\sqrt[3]{2^3}=2$ و $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$ (برای $n$ زوج: $|a|$ ، برای $n$ فرد: $a$ )

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۵۶ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس