حل تمرین صفحه ۵۲ ریاضی دهم

گام ۱: برای هر رادیکال، دو عدد با یک رقم اعشار پیدا می‌کنیم که عدد زیر رادیکال بین توان‌های آن‌ها باشد. سپس نزدیک‌تر را انتخاب می‌کنیم. ماشین‌حساب هم همین نتیجه را می‌دهد.

گام ۲: برای $\sqrt{10}$ داریم $3/1^2=9/61$ و $3/2^2=10/24$. پس $3/1<\sqrt{10}<3/2$. چون $10$ به $10/24$ نزدیک‌تر است، $\sqrt{10}\approx 3/162$ و تقریب آن $3/2$ است.

گام ۳: برای $\sqrt[3]{7/25}$ داریم $1/9^3=6/859$ و $2^3=8$. چون $7/25$ بین این دو است، مقدار رادیکال بین $1/9$ و $2$ قرار می‌گیرد. اما $1/95^3\approx7/42$ است و از $7/25$ بزرگ‌تر است، پس ریشه کوچک‌تر از $1/95$ است. بنابراین $\sqrt[3]{7/25}\approx1/936$ و تقریب آن $1/9$ است.

گام ۴: برای $\sqrt[5]{16}$ داریم $1/7^5\approx14/2$ و $1/8^5\approx18/9$. چون $1/75^5\approx16/4$ از $16$ بزرگ‌تر است، ریشه کوچک‌تر از $1/75$ است. بنابراین $\sqrt[5]{16}\approx1/74$ و تقریب آن $1/7$ است.

گام ۵: برای $\sqrt[5]{64}$ داریم $2/3^5\approx64/4$ که تقریباً برابر $64$ است. پس $\sqrt[5]{64}\approx2/297$ و تقریب آن $2/3$ است.

گام ۱: ریشهٔ سوم عددی مثبت، مثبت است. برای مقایسهٔ $\sqrt[3]{a}$ و $a$ چند عدد را امتحان می‌کنیم. عددهای $0$ و $1$ و $-1$ با ریشهٔ سوم خودشان برابرند، چون $0^3=0$ و $1^3=1$ و $(-1)^3=-1$.

گام ۲ (ب): از $\sqrt[3]{a}=a$ نتیجه می‌شود $a^3=a$، یعنی $a(a-1)(a+1)=0$. پس $a=0$ یا $a=1$ یا $a=-1$.

گام ۳ (الف): برای $a$ مثبت، اگر $a<1$ باشد ریشهٔ سوم از خود عدد بزرگ‌تر است. مثال: $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac12>\frac18$. پس $0<a<1$.

گام ۴ (پ): اگر $a>1$ باشد ریشهٔ سوم از خود عدد کوچک‌تر است. مثال: $\sqrt[3]{8}=2<8$. پس $a>1$.

گام ۵ (ت): برای $a$ منفی، $-1$ مرز است.

• اگر $a<-1$ باشد، مثلاً $a=-8$، داریم $\sqrt[3]{-8}=-2>-8$. پس برای حالت (الف) داریم $a<-1$.
• اگر $-1<a<0$ باشد، مثلاً $a=-\frac18$، داریم $\sqrt[3]{-\frac18}=-\frac12<-\frac18$. پس برای حالت (پ) داریم $-1<a<0$.