حل تمرین صفحه ۵۱ ریاضی دهم

گام ۱: هر عدد مثبت دو ریشهٔ چهارم دارد که قرینهٔ یکدیگرند. پس برای عدد $a$ باید عددی مانند $x$ پیدا کنیم که $x^4=a$ شود؛ آنگاه $-x$ هم ریشهٔ چهارم است.

گام ۲: ستون‌های داده‌شده را بررسی می‌کنیم:

• $2^4=16$ و $(-2)^4=16$، پس ریشه‌های چهارم ۱۶ برابرند با $2$ و $-2$.
• $5^4=625$ و $(-5)^4=625$، پس ریشه‌های چهارم ۶۲۵ برابرند با $5$ و $-5$.

گام ۳: برای ۱۰٬۰۰۰ داریم $10^4=10000$ و $(-10)^4=10000$. پس ریشه‌های چهارم آن $10$ و $-10$ هستند.

گام ۴: برای ۳۱۲۵ داریم $3125=5\times625=5\times5^4$. پس $\sqrt[4]{3125}=5\sqrt[4]{5}$ و ریشهٔ چهارم دیگر آن $-5\sqrt[4]{5}$ است. بررسی: $(5\sqrt[4]{5})^4=625\times5=3125$.

گام ۵: برای ستون آخر، که دلخواه است، عدد ۸۱ را می‌گیریم. چون $3^4=81$ و $(-3)^4=81$، ریشه‌های چهارم آن $3$ و $-3$ هستند.

گام ۱: ریشهٔ پنجم عدد $a$ عددی است که توان پنجم آن برابر $a$ شود. ریشهٔ پنجم برای عدد منفی هم وجود دارد و منفی است.

گام ۲: ستون دوم: ریشهٔ پنجم برابر ۵ است، پس عدد برابر $5^5=3125$ است.

گام ۳: ستون سوم: عدد $-243$ است و $(-3)^5=-243$، پس ریشهٔ پنجم آن $-3$ است. ستون اول هم درست است، چون $(-2)^5=-32$.

گام ۴: ستون چهارم: ریشهٔ پنجم برابر $-1$ است، پس عدد برابر $(-1)^5=-1$ است.

گام ۵: ستون پنجم: ریشهٔ پنجم برابر $-10$ است، پس عدد برابر $(-10)^5=-100000$ است.

گام ۱: ریشهٔ پنجم عدد $a$ عددی مانند $x$ است که $x^5=a$. می‌خواهیم عددهایی را پیدا کنیم که $x=a$ باشد، یعنی $x^5=x$.

گام ۲: معادله را حل می‌کنیم:

چون $x^2+1$ هرگز صفر نمی‌شود، باید $x=0$ یا $x^2=1$ باشد.

گام ۳: پس $x=0$ یا $x=1$ یا $x=-1$.

گام ۴: بررسی: $0^5=0$ و $1^5=1$ و $(-1)^5=-1$. درست است.

گام ۱: از فعالیت‌های قبل می‌دانیم هر عدد مثبت یا منفی یک و فقط یک ریشهٔ پنجم دارد؛ مثلاً $\sqrt[5]{32}=2$ و $\sqrt[5]{-32}=-2$. پس جای خالی اول «یک» است.

گام ۲: برای عدد مثبت، ریشهٔ پنجم مثبت است، چون توان فرد عدد مثبت، مثبت می‌ماند. برای عدد منفی، توان پنجم یک عدد منفی، منفی است؛ مثلاً $(-2)^5=-32$. پس ریشهٔ پنجم عدد منفی، منفی است.

گام ۳: عبارت کامل‌شده: «هر عدد مثبت یا منفی دارای یک ریشهٔ پنجم است. اگر عدد مثبت باشد، ریشهٔ پنجم آن مثبت و اگر عدد منفی باشد، ریشهٔ پنجم آن منفی است.»

گام ۱: عدد رادیکالی را بین دو توان کامل متوالی قرار می‌دهیم. اگر خود عدد توان کامل باشد، ریشه صحیح است.

گام ۲: ریشه‌های دوم:

• $\sqrt{16}=4$ چون $4^2=16$.
• $\sqrt{20}$: چون $16<20<25$، پس $4<\sqrt{20}<5$.
• $\sqrt{75}$: چون $64<75<81$، پس $8<\sqrt{75}<9$.

گام ۳: ریشه‌های سوم:

• $\sqrt[3]{20}$: چون $8<20<27$، پس $2<\sqrt[3]{20}<3$.
• $\sqrt[3]{-10}$: چون $-27<-10<-8$، پس $-3<\sqrt[3]{-10}<-2$.
• $\sqrt[3]{-90}$: چون $-125<-90<-64$، پس $-5<\sqrt[3]{-90}<-4$.
• $\sqrt[3]{250}$: چون $216<250<343$، پس $6<\sqrt[3]{250}<7$.

گام ۴: ریشه‌های چهارم و پنجم:

• $\sqrt[4]{400}$: چون $256<400<625$، پس $4<\sqrt[4]{400}<5$.
• $\sqrt[5]{400}$: چون $243<400<1024$، پس $3<\sqrt[5]{400}<4$.
• $\sqrt[5]{1}=1$ چون $1^5=1$.