حل تمرین صفحه ۳۸ ریاضی دهم

گام ۱: وقتی $\theta = 90^\circ$ است، نقطهٔ P روی دایرهٔ مثلثاتی (شعاع ۱) دقیقاً روی نقطهٔ $B(0,1)$ قرار می‌گیرد؛ پس $x=0$ و $y=1$.

گام ۲: طبق تعریف، $\sin\theta = y$ و $\cos\theta = x$، بنابراین:

گام ۳: برای تانژانت داریم $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$؛ چون $x=0$ است، تقسیم بر صفر پیش می‌آید و $\tan 90^\circ$ تعریف نمی‌شود (مطابق جدول کتاب).

گام ۴: برای کتانژانت داریم $\cot\theta=\dfrac{x}{y}$؛ پس:

گام ۱: وقتی $\theta = 180^\circ$ است، نقطهٔ P روی دایرهٔ مثلثاتی (شعاع ۱) به نقطهٔ $\mathrm{C}(-1,0)$ می‌رسد. پس $x=-1$ و $y=0$.

گام ۲: چون $\sin\theta = y$ و $\cos\theta = x$ است:

گام ۳: برای تانژانت و کتانژانت:

$\cot 180^\circ = \dfrac{x}{y} = \dfrac{-1}{0}$ است و چون مخرج صفر می‌شود، تعریف نمی‌شود (با جدول کتاب هم سازگار است).

گام ۱: برای $\theta = 270^\circ$ نقطهٔ P روی دایرهٔ مثلثاتی به شعاع ۱ در پایین‌ترین نقطه، یعنی نقطهٔ $D(0,-1)$ قرار می‌گیرد؛ پس $x=0$ و $y=-1$.

گام ۲: چون $\sin\theta = y$ و $\cos\theta = x$ است:

گام ۳: برای تانژانت داریم $\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-1}{0}$ که چون مخرج صفر است، تعریف نمی‌شود.

گام ۴: برای کتانژانت داریم $\cot\theta=\frac{x}{y}=\frac{0}{-1}=0$.

گام ۱: ستون سوم که با «؟» مشخص شده، زاویهٔ $180^\circ$ است. دلیلش این است که در این ستون $\cos\theta=-1$ و $\cot\theta$ تعریف نشده است. در دایرهٔ مثلثاتی، نقطهٔ پایان کمان این زاویه $C(-1,0)$ است.

گام ۲: برای هر زاویه، مختصات نقطهٔ $P(x,y)$ را می‌نویسیم و از $\sin\theta=y$، $\cos\theta=x$، $\tan\theta=\frac{y}{x}$ و $\cot\theta=\frac{x}{y}$ استفاده می‌کنیم:

• $0^\circ$: $P=(1,0)$
• $90^\circ$: $P=(0,1)$
• $180^\circ$: $P=(-1,0)$
• $270^\circ$: $P=(0,-1)$
• $360^\circ$: $P=(1,0)$ (دوباره روی نقطهٔ $A$)

گام ۳: وقتی $x=0$ باشد، $\tan\theta=\frac{y}{x}$ تعریف نمی‌شود (در $90^\circ$ و $270^\circ$). وقتی $y=0$ باشد، $\cot\theta=\frac{x}{y}$ تعریف نمی‌شود (در $0^\circ$، $180^\circ$ و $360^\circ$).

گام ۴: جدول کامل‌شده:

گام ۱: در دایرهٔ مثلثاتی، مختصات نقطهٔ انتهای کمان $P(x,y)$ است و $x=\cos\theta$ و $y=\sin\theta$. در ربع سوم، $x<0$ و $y<0$.

گام ۲: پس $\sin\theta=y<0$ و $\cos\theta=x<0$، یعنی سینوس و کسینوس هر دو منفی‌اند.

گام ۳: طبق تعریف، $\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. چون $y$ و $x$ هر دو منفی‌اند، خارج‌قسمت آن‌ها مثبت است:

گام ۴: به همین ترتیب $\cot\theta=\dfrac{x}{y}=\dfrac{-}{-}=+$ (مثبت).

گام ۱: اگر $\alpha$ در ربع دوم باشد، نقطهٔ انتهای کمان $P(x,y)$ در سمت چپ محور $y$ها و بالای محور $x$ها قرار دارد؛ پس $x<0$ و $y>0$.

گام ۲: چون $y=\sin\alpha$ و $x=\cos\alpha$ است، داریم:

گام ۳: برای تانژانت و کتانژانت:

گام ۴: بنابراین در ربع دوم فقط سینوس مثبت است و کسینوس، تانژانت و کتانژانت منفی‌اند.

گام ۱: مختصات نقطهٔ P روی دایرهٔ مثلثاتی $(x,y)$ است و $\sin\theta=y$ و $\cos\theta=x$. همچنین $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ و $\cot\theta=\dfrac{x}{y}$. پس علامت هر نسبت از علامت $x$ و $y$ به‌دست می‌آید.

گام ۲: سرستون‌ها را کامل می‌کنیم:

• ربع دوم: $x<0,\ y>0$
• ربع سوم: $x<0,\ y<0$
• ربع چهارم: $x>0,\ y<0$

گام ۳: علامت‌ها را در هر ربع تعیین می‌کنیم:

• ربع دوم: $\sin>0$، $\cos<0$، $\tan=\dfrac{+}{-}<0$، $\cot<0$.
• ربع سوم: $\sin<0$، $\cos<0$، $\tan=\dfrac{-}{-}>0$، $\cot>0$.
• ربع چهارم: $\sin<0$، $\cos>0$، $\tan<0$، $\cot<0$.

گام ۴: جدول کامل‌شده (خانه‌های داده‌شده در صورت تمرین، یعنی $\cos$ در ربع دوم، $\tan$ در ربع سوم و $\cot$ در ربع چهارم، با این نتایج سازگارند):