۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

حل تمرین صفحه ۳۰ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۳ تمرین صفحهٔ ۳۰ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۲: مثلثات)، پایهٔ دهم؛ ۱ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

در مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ ABC\mathrm{ABC} و A′B′C′\mathrm{A'B'C'}، A^=A^′\hat{\mathrm{A}} = \hat{\mathrm{A}}'. جاهای خالی را کامل کنید.

ABCΔ □ A′B′C′Δ⇒ACA′C′=ABA′B′=BCB′C′\overset{\Delta}{\mathrm{ABC}} \ \square \ \overset{\Delta}{\mathrm{A'B'C'}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A'C'}} = \frac{\mathrm{AB}}{\phantom{\mathrm{A'B'}}} = \frac{\mathrm{BC}}{\phantom{\mathrm{B'C'}}}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: دو مثلث قائم‌الزاویهٔ ABC\mathrm{ABC} و A′B′C′\mathrm{A'B'C'} را در نظر می‌گیریم. زاویهٔ قائمهٔ هر دو در رأس B\mathrm{B} و B′\mathrm{B'} است، پس B^=B^′=90∘\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{B}}'=90^\circ. طبق فرض هم A^=A^′\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{A}}'.

گام ۲: دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابرند، پس طبق مطلب درس دو مثلث متشابه‌اند و در جای خالی نماد تشابه می‌آید:

ABCΔ∼A′B′C′Δ\overset{\Delta}{\mathrm{ABC}} \sim \overset{\Delta}{\mathrm{A'B'C'}}

گام ۳: در مثلث‌های متشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر است. ضلع متناظر AB\mathrm{AB} ضلع A′B′\mathrm{A'B'} و ضلع متناظر BC\mathrm{BC} ضلع B′C′\mathrm{B'C'} است. پس:

ACA′C′=ABA′B′=BCB′C′\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A'C'}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A'B'}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B'C'}}

جواب نهایی

1) ABCΔ∼A′B′C′Δ\overset{\Delta}{\mathrm{ABC}} \sim \overset{\Delta}{\mathrm{A'B'C'}} و ACA′C′=ABA′B′=BCB′C′\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A'C'}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A'B'}}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B'C'}}

کار در کلاس، سؤال ۲

از تساوی ACA′C′=ABA′B′\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A'C'}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A'B'}}، می‌توان نتیجه گرفت ABAC=A′B′A′C′\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{A'C'}} (چرا؟). با توجه به این نکته، جاهای خالی را کامل کنید :

ABBC=A′B′B′C′وBCAC=B′C′A′C′\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \frac{\phantom{\mathrm{A'B'}}}{\phantom{\mathrm{B'C'}}} \quad \text{و} \quad \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\phantom{\mathrm{B'C'}}}{\phantom{\mathrm{A'C'}}}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از قسمت ۱ می‌دانیم دو مثلث متشابه‌اند، پس نسبت اضلاع متناظر برابر است: ACA′C′=ABA′B′=BCB′C′\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}.

گام ۲ (چرا؟): در تساوی ACA′C′=ABA′B′\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'} طرفین وسطین می‌کنیم: AC⋅A′B′=AB⋅A′C′AC\cdot A'B' = AB\cdot A'C'. حالا دو طرف را بر AC⋅A′C′AC\cdot A'C' تقسیم می‌کنیم:

A′B′A′C′=ABAC\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{AB}{AC}

یعنی جای وسطین (یا طرفین) را در تناسب عوض کرده‌ایم و تساوی برقرار می‌ماند.

گام ۳: همین کار را برای تساوی ABA′B′=BCB′C′\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} انجام می‌دهیم: AB⋅B′C′=BC⋅A′B′AB\cdot B'C' = BC\cdot A'B'. تقسیم دو طرف بر BC⋅B′C′BC\cdot B'C' می‌دهد:

ABBC=A′B′B′C′\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

گام ۴: برای تساوی ACA′C′=BCB′C′\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'} داریم AC⋅B′C′=BC⋅A′C′AC\cdot B'C' = BC\cdot A'C'. تقسیم دو طرف بر AC⋅A′C′AC\cdot A'C' می‌دهد:

BCAC=B′C′A′C′\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}

جواب نهایی

2) ABBC=A′B′B′C′\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'} و BCAC=B′C′A′C′\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'} (دلیل: با طرفین وسطین کردن تناسب‌ها و جابه‌جا کردن وسطین)

فعالیت، سؤال ۱

در شکل سمت راست، درستی تساوی BCAB=EFAE\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AE}} را بررسی کنید.

[شکل ۲ــ۷]

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است؛ به شکل کتاب نیاز دارد، پس از خود صفحهٔ کتاب عکس بگیر. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

فعالیت، سؤال ۲

نقطهٔ دیگری مثل M\mathrm{M} را در امتداد AC\mathrm{AC} درنظر بگیرید و از آن نقطه، عمودی بر ضلع دیگر زاویه A\mathrm{A} رسم کنید و پای عمود را N\mathrm{N} بنامید. اکنون جاهای خالی را کامل کنید :

BCAB=MNAN=EFAE\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{MN}}{\phantom{\mathrm{AN}}} = \frac{\phantom{\mathrm{EF}}}{\mathrm{AE}}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: طبق تعریف تانژانت، tan⁡A=BCAB\tan A=\frac{BC}{AB} است، پس زاویهٔ قائمهٔ مثلث ABCABC در رأس BB است. ضلع BCBC مقابل زاویهٔ AA و ضلع ABAB مجاور آن است. در شکل ۲ــ۷ هم EFEF بر ABAB عمود است، پس مثلث AEFAEF نیز در EE قائمه است.

گام ۲: نقطهٔ MM را روی امتداد ACAC می‌گیریم و از آن بر ضلع ABAB عمود می‌کنیم. پای عمود NN است و مثلث ANMANM در NN قائمه است.

گام ۳: مثلث‌های ABCABC و ANMANM قائم‌الزاویه‌اند و زاویهٔ AA در هر دو مشترک است. پس طبق نتیجهٔ درس متشابه‌اند:

ABCΔ∼ANMΔ\overset{\Delta}{ABC}\sim\overset{\Delta}{ANM}

گام ۴: در این تشابه، BCBC با NMNM و ABAB با ANAN متناظرند. بنابراین:

BCAB=MNAN\frac{BC}{AB}=\frac{MN}{AN}

گام ۵: به همین ترتیب در مثلث AEFAEF داریم BCAB=EFAE\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}. در نتیجه:

BCAB=MNAN=EFAE\frac{BC}{AB}=\frac{MN}{AN}=\frac{EF}{AE}

این نسبت‌ها همان tan⁡A\tan A هستند و به محل نقطه بستگی ندارند.

جواب نهایی

2) BCAB=MNAN=EFAE\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{MN}{AN}=\dfrac{EF}{AE} (جای خالی اول: ANAN، جای خالی دوم: EFEF)

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۳۰ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس