ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

حل تمرین صفحه ۲۷ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۷ تمرین صفحهٔ ۲۷ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۱

از بین موارد زیر، دنباله‌های هندسی را مشخص کنید و قدر نسبت آنها را بنویسید.
الف) $7, 28, 112, 448, \dots$
ب) $2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}, 6\sqrt{5}, 8\sqrt{5}, \dots$
پ) $1, \frac{-1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{-1}{8}, \dots$
ت) $5, 5, 5, 5, \dots$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در دنبالهٔ هندسی، نسبت هر جمله به جملهٔ قبلی ثابت است ( $r=\frac{t_{n+1}}{t_n}$ ). این نسبت را برای هر دنباله حساب می‌کنیم.

گام ۲: الف)

\frac{28}{7}=4,\quad \frac{112}{28}=4,\quad \frac{448}{112}=4

نسبت‌ها برابرند، پس دنباله هندسی است و $r=4$ .

گام ۳: ب)

\frac{4\sqrt5}{2\sqrt5}=2,\quad \frac{6\sqrt5}{4\sqrt5}=\frac{3}{2}

نسبت‌ها برابر نیستند، پس هندسی نیست (این دنباله حسابی با اختلاف $2\sqrt5$ است).

گام ۴: پ)

\frac{-\frac12}{1}=-\frac12,\quad \frac{\frac14}{-\frac12}=-\frac12,\quad \frac{-\frac18}{\frac14}=-\frac12

پس هندسی است و $r=-\frac12$ .

گام ۵: ت)

\frac55=1

نسبت همهٔ جمله‌ها $1$ است، پس هندسی با $r=1$ است (دنبالهٔ ثابت).

جواب نهایی

الف) هندسی، $r=4$
ب) هندسی نیست
پ) هندسی، $r=-\frac12$
ت) هندسی، $r=1$

تمرین ۲

چند دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $\frac{4}{5}$ می‌توان ساخت؟ دو مورد را بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در دنبالهٔ هندسی، هر جمله از ضرب جملهٔ قبل در قدرنسبت به‌دست می‌آید. چون قدرنسبت $r=\frac{4}{5}$ داده شده، کافی است جملهٔ اول $t_1$ را (هر عدد غیرصفر) انتخاب کنیم. پس بی‌شمار دنباله می‌توان ساخت.

گام ۲: مورد اول: $t_1 = 5$ را انتخاب می‌کنیم:

5,\ 5\times\frac{4}{5}=4,\ 4\times\frac{4}{5}=\frac{16}{5},\ \frac{16}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{64}{25},\ \dots

جملهٔ عمومی: $t_n = 5\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$

گام ۳: مورد دوم: $t_1 = 25$ را انتخاب می‌کنیم:

25,\ 20,\ 16,\ \frac{64}{5},\ \dots

جملهٔ عمومی: $t_n = 25\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$

(جملهٔ اول را می‌توان هر عدد غیرصفر دیگر هم گرفت؛ پاسخ‌های دیگر نیز درست‌اند.)

جواب نهایی

بی‌شمار دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت $\frac{4}{5}$ می‌توان ساخت؛ مثلاً $5, 4, \frac{16}{5}, \frac{64}{25}, \dots$ و $25, 20, 16, \frac{64}{5}, \dots$

تمرین ۳

درستی یا نادرستی جملات زیر را بررسی کنید. در صورت درست بودن توضیح دهید و در صورت نادرست بودن مثال نقض ارائه کنید.
الف) هر دنباله، یا حسابی است یا هندسی.
ب) دنباله‌ای وجود ندارد که هم حسابی باشد و هم هندسی.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در بخش (الف) باید دنباله‌ای پیدا کنیم که نه حسابی باشد و نه هندسی. دنبالهٔ $1, 2, 4, 7, \dots$ را در نظر می‌گیریم.

گام ۲: تفاضل جمله‌های متوالی این دنباله $1, 2, 3$ است و ثابت نیست، پس حسابی نیست. نسبت جمله‌های متوالی $\frac{2}{1}=2$ و $\frac{4}{2}=2$ و $\frac{7}{4}$ است و ثابت نیست، پس هندسی هم نیست. بنابراین جملهٔ (الف) نادرست است.

گام ۳: در بخش (ب) دنبالهٔ ثابت $5, 5, 5, 5, \dots$ را در نظر می‌گیریم. تفاضل هر دو جملهٔ متوالی برابر $5-5=0$ است، پس دنباله حسابی با $d=0$ است.

گام ۴: نسبت هر دو جملهٔ متوالی برابر $\frac{5}{5}=1$ است، پس دنباله هندسی با $r=1$ هم هست ( $t_1=5\neq0$ و $r=1\neq0$ ). بنابراین دنباله‌ای هست که هم حسابی و هم هندسی است و جملهٔ (ب) نادرست است. (هر دنبالهٔ ثابت و ناصفر چنین است. مثال‌های دیگر هم ممکن است.)

جواب نهایی

الف) نادرست؛ مثال نقض: $1, 2, 4, 7, \dots$ (نه حسابی است نه هندسی)
ب) نادرست؛ مثال نقض: $5, 5, 5, 5, \dots$ (حسابی با $d=0$ و هندسی با $r=1$ )

تمرین ۴

علی دوچرخه‌ای را به قیمت ۵۰۰ هزار تومان خرید. فرض کنید قیمت دوچرخهٔ دست دوم، در هر سال ۲۰ درصد نسبت به سال قبل از خودش کاهش یابد.
الف) اگر او بعد از ۳ سال قصد فروش دوچرخه‌اش را داشته باشد، به چه قیمتی می‌تواند آن را بفروشد؟
ب) قیمت دوچرخه بعد از گذشت $n$ سال از چه رابطه‌ای به‌دست می‌آید؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: کاهش ۲۰ درصد یعنی قیمت هر سال $80$ درصد قیمت سال قبل است. پس قیمت‌ها دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت $r = 0/8 = \frac{4}{5}$ می‌سازند. جملهٔ اول قیمت خرید است: $t_1 = 500$ (هزار تومان).

گام ۲: قیمت بعد از $3$ سال، یعنی شروع سال چهارم، جملهٔ چهارم دنباله است ( $t_4$ ):

t_4 = 500 \times (0/8)^3 = 500 \times 0/512 = 256

پس علی می‌تواند دوچرخه را به قیمت $256$ هزار تومان بفروشد.

گام ۳: قیمت بعد از $n$ سال جملهٔ $(n+1)$ ام دنباله است:

t_{n+1} = 500 \times (0/8)^{n}

اگر قیمت بعد از $n$ سال را $P_n$ بنامیم، $P_n = 500 \times (0/8)^n$ (هزار تومان) و $P_0 = 500$ .

جواب نهایی

الف) ۲۵۶ هزار تومان
ب) $P_n = 500 \times (0/8)^n$ هزار تومان

تمرین ۵

حاصل‌ضرب بیست جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی مقابل را محاسبه کنید. $2, 4, 8, \dots$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: دنباله هندسی است با $t_1 = 2$ و $r = \frac{4}{2} = 2$ ، پس جملهٔ $n$ ام برابر است با:

t_n = 2 \times 2^{n-1} = 2^n

گام ۲: حاصل‌ضرب بیست جملهٔ اول را می‌نویسیم:

P = 2^1 \times 2^2 \times 2^3 \times \cdots \times 2^{20}

گام ۳: در ضرب توان‌های هم‌پایه، توان‌ها با هم جمع می‌شوند:

P = 2^{1+2+3+\cdots+20}

گام ۴: مجموع توان‌ها مجموع بیست عدد طبیعی اول است، یعنی یک دنبالهٔ حسابی:

1+2+\cdots+20 = \frac{20 \times 21}{2} = 210

پس $P = 2^{210}$ .

جواب نهایی

$2^{210}$

تمرین ۶

جملات سوم و ششم یک دنبالهٔ هندسی به ترتیب ۱۲ و ۹۶ می‌باشند. دنباله را مشخص کنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از فرمول جملهٔ $n$ ام $t_n = t_1 r^{n-1}$ استفاده می‌کنیم:

t_3 = t_1 r^2 = 12 ,\qquad t_6 = t_1 r^5 = 96

گام ۲: دو رابطه را بر هم تقسیم می‌کنیم تا $t_1$ حذف شود:

\frac{t_1 r^5}{t_1 r^2} = \frac{96}{12} \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2

گام ۳: $r$ را در رابطهٔ جملهٔ سوم می‌گذاریم:

t_1 \times 2^2 = 12 \Rightarrow t_1 = \frac{12}{4} = 3

گام ۴: جملات دنباله را می‌نویسیم و درستی را وارسی می‌کنیم: $3, 6, 12, 24, 48, 96, \dots$ جملهٔ سوم ۱۲ و جملهٔ ششم ۹۶ است. جملهٔ عمومی:

t_n = 3 \times 2^{n-1}

جواب نهایی

دنباله با $t_1 = 3$ و $r = 2$ به صورت $3, 6, 12, 24, 48, 96, \dots$ است و جملهٔ عمومی آن $t_n = 3 \times 2^{n-1}$ می‌باشد.

تمرین ۷

بنابر آمار منتشر شده از جانب پزشکی قانونی کشور، آمار تلفات جاده‌ای از عدد ۲۷۷۵۹ نفر در سال ۱۳۸۴ به عدد ۱۶۷۷۸ نفر در سال ۱۴۰۰ کاهش یافته است که نشان‌دهندهٔ حدود ۳ درصد کاهش سالانه در این دهه است. اگر آمار حوادث رانندگی در کشور با همین سرعت کاهش یابد،
الف) پیش‌بینی می‌شود در هر یک از سال‌های منتهی به سال ۱۴۰۵ چند نفر از هم‌وطن‌های ما جان خود را در حوادث رانندگی از دست بدهند؟ نتایج را در جدول زیر ثبت کنید.

سال	۱۴۰۰	۱۴۰۱	۱۴۰۲	۱۴۰۳	۱۴۰۴	۱۴۰۵
تعداد تلفات مورد انتظار

ب) اعداد حاصل، چه نوع دنباله‌ای تشکیل می‌دهند؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: کاهش سالانهٔ ۳ درصد یعنی تعداد تلفات هر سال $97\%$ سال قبل است. پس هر جمله از ضرب جملهٔ قبل در $r=0/97$ به دست می‌آید. جملهٔ اول، یعنی سال ۱۴۰۰، برابر $t_1=16778$ است.

گام ۲: سال ۱۴۰۱:

t_2=16778\times0/97\approx16274/7\approx16275

گام ۳: سال‌های بعد را با ضرب مکرر در $0/97$ و گرد کردن در پایان محاسبه می‌کنیم:

t_3\approx15786،\quad t_4\approx15313،\quad t_5\approx14853،\quad t_6\approx14408

سال	۱۴۰۰	۱۴۰۱	۱۴۰۲	۱۴۰۳	۱۴۰۴	۱۴۰۵
تعداد تلفات مورد انتظار	۱۶۷۷۸	۱۶۲۷۵	۱۵۷۸۶	۱۵۳۱۳	۱۴۸۵۳	۱۴۴۰۸

گام ۴: (ب) نسبت هر جمله به جملهٔ قبل ثابت و برابر $0/97$ است. پس این اعداد یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت $0/97$ می‌سازند. جملهٔ عمومی آن $t_n=16778\times(0/97)^{n-1}$ است.

جواب نهایی

الف) به ترتیب از ۱۴۰۰ تا ۱۴۰۵ (مقادیر تقریبی): ۱۶۷۷۸، ۱۶۲۷۵، ۱۵۷۸۶، ۱۵۳۱۳، ۱۴۸۵۳، ۱۴۴۰۸
ب) دنبالهٔ هندسی با جملهٔ اول ۱۶۷۷۸ و قدرنسبت $0/97$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۲۷ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس