حل تمرین صفحه ۲۶ ریاضی دهم

گام ۱: جمله‌های دنباله را به ترتیب می‌خوانیم: $1, 3, 9, \dots$ پس جملهٔ اول $t_1 = 1$ است. قدرنسبت از تقسیم هر جمله بر جملهٔ قبل از آن به‌دست می‌آید:

گام ۲: جملهٔ هفتم را با فرمول $t_n = t_1 r^{n-1}$ حساب می‌کنیم:

گام ۳: حل نرگس را بررسی می‌کنیم. قدرنسبت او $r=3$ درست است، اما او عدد ۹ را جملهٔ اول گرفته است، در حالی که ۹ جملهٔ سوم است. به همین دلیل به $9 \times 3^6 = 6561$ رسیده که نادرست است.

گام ۴: حل نگار را بررسی می‌کنیم. او قدرنسبت را برعکس حساب کرده است ($\frac{3}{9}$ به‌جای $\frac{9}{3}$) و جمله‌ها را هم به‌جای جملهٔ قبلی بر جملهٔ بعدی تقسیم کرده است. او نیز ۹ را جملهٔ اول گرفته است. پس جواب $\frac{1}{81}$ نادرست است.

گام ۱: قدرنسبت را از تقسیم هر جمله بر جملهٔ قبلی به‌دست می‌آوریم: $r=\dfrac{t_{2}}{t_{1}}$. دو جملهٔ بعدی را با ضرب جملهٔ آخر در $r$ پیدا می‌کنیم و جملهٔ عمومی را از $t_n=t_1r^{n-1}$ می‌نویسیم.

گام ۲ (الف): $r=\dfrac{6}{2}=3$. دو جملهٔ بعدی: $54\times3=162$ و $162\times3=486$. جملهٔ عمومی: $a_n=2\times3^{n-1}$.

گام ۳ (ب): $r=\dfrac{10}{5}=2$. دو جملهٔ بعدی: $40\times2=80$ و $80\times2=160$. جملهٔ عمومی: $b_n=5\times2^{n-1}$.

گام ۴ (پ): $r=\dfrac{-60}{6}=-10$. دو جملهٔ بعدی: $-6000\times(-10)=60000$ و $60000\times(-10)=-600000$. جملهٔ عمومی: $c_n=6\times(-10)^{n-1}$.

گام ۵ (ت): $r=\dfrac{2}{4}=\dfrac12$. دو جملهٔ بعدی: $\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ و $\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18$. جملهٔ عمومی: $d_n=4\times\left(\dfrac12\right)^{n-1}$.

گام ۱ (الف): جملهٔ اول ۳ و جملهٔ سوم ۴۸ است، پس $3r^2=48$ و $r^2=16$، یعنی $r=4$ یا $r=-4$.

• برای $r=4$ داریم $3\times4=12$.
• برای $r=-4$ داریم $3\times(-4)=-12$.

بنابراین عدد دیگر $-12$ است و دنبالهٔ $3,-12,48$ هندسی است.

گام ۲ (ب): با سه واسطه، ۴۸ جملهٔ پنجم است: $3r^4=48$، پس $r^4=16$ و $r=\pm2$.

• $r=2$: دنبالهٔ $3,6,12,24,48$.
• $r=-2$: دنبالهٔ $3,-6,12,-24,48$.

جواب یکتا نیست.

گام ۳ (پ، جدول اول): در جدول اول، ۴۰۰۰ جملهٔ چهارم است: $10r^3=4000$، پس $r^3=400$ و $r=\sqrt[3]{400}$ (فقط یک جواب حقیقی).

• $t_2=10\sqrt[3]{400}=20\sqrt[3]{50}$
• $t_3=10r^2=200\sqrt[3]{20}$

بررسی: $200\sqrt[3]{20}\times\sqrt[3]{400}=200\sqrt[3]{8000}=4000$.

گام ۴ (پ، جدول دوم): در جدول دوم، ۸۰۰۰۰ جملهٔ پنجم است: $10r^4=80000$، پس $r^4=8000$ و $r=\pm2\sqrt[4]{500}$.

• $t_2=\pm20\sqrt[4]{500}$
• $t_3=10r^2=400\sqrt5$
• $t_4=\pm4000\sqrt[4]{20}$

بررسی: $4000\sqrt[4]{20}\times2\sqrt[4]{500}=8000\sqrt[4]{10000}=80000$.

گام ۵ (پ، جدول سوم): در جدول سوم، ۹۷۲ جملهٔ پنجم است: $4r^4=972$، پس $r^4=243$ و $r=\pm3\sqrt[4]{3}$.

• $t_2=\pm12\sqrt[4]{3}$
• $t_3=36\sqrt3$
• $t_4=\pm108\sqrt[4]{27}$

بررسی: $108\sqrt[4]{27}\times3\sqrt[4]{3}=324\sqrt[4]{81}=972$.