حل تمرین صفحه ۲۴ ریاضی دهم

گام ۱: در دنبالهٔ حسابی اختلاف هر جمله با جملهٔ قبلی ثابت است و برابر $d$ است. جملهٔ بیست‌ویکم از رابطهٔ $t_{21}=t_1+20d$ به‌دست می‌آید.

گام ۲: الف) $10-3=7$ و $17-10=7$ و $24-17=7$. پس دنباله حسابی است و $d=7$.

گام ۳: ب) $2-1=1$ ولی $4-2=2$. اختلاف‌ها ثابت نیستند، پس دنباله حسابی نیست. (نسبت جملات ثابت و برابر ۲ است، یعنی دنبالهٔ هندسی است.)

گام ۴: پ) $2\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3$ و $3\sqrt3-2\sqrt3=\sqrt3$ و $4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3$. پس دنباله حسابی است و $d=\sqrt3$.

ت) $7-10=-3$ و $4-7=-3$ و $1-4=-3$. پس دنباله حسابی است و $d=-3$.

گام ۵: ث) $\frac45-1=-\frac15$ و $\frac35-\frac45=-\frac15$ و $\frac25-\frac35=-\frac15$. پس دنباله حسابی است و $d=-\frac15$.

ج) همهٔ جملات برابرند، پس $d=0$ و دنباله حسابی است (دنبالهٔ ثابت).

گام ۱: از جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی استفاده می‌کنیم: $t_n = t_1 + (n-1)d$. پس:

گام ۲: دو معادله را از هم کم می‌کنیم:

گام ۳: قدرنسبت را در معادلهٔ اول قرار می‌دهیم:

گام ۴: جملات دنباله را می‌نویسیم:

بررسی: $t_3 = 20$ و $t_7 = 2 + 6(9) = 56$ ✓.

گام ۱: جملهٔ اول را $t_1$ و قدرنسبت را $d$ می‌گیریم. مجموع سه جملهٔ اول برابر ۳ است:

گام ۲: سه جملهٔ بعدی $t_4$، $t_5$ و $t_6$ هستند و مجموعشان ۳۹ است:

گام ۳: معادلهٔ اول را از دومی کم می‌کنیم:

سپس $t_1=1-4=-3$ به‌دست می‌آید.

گام ۴: جملات دنباله را می‌نویسیم: $-3,\ 1,\ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \dots$

گام ۵: بررسی: $-3+1+5=3$ و $9+13+17=39$. هر دو شرط برقرار است.

گام ۱: واسطهٔ حسابی بین دو عدد $a$ و $b$ یعنی عددی مانند $x$ که سه عدد $a, x, b$ تشکیل دنبالهٔ حسابی بدهند؛ پس $x - a = b - x$.

گام ۲ (الف): دنبالهٔ $5, x, 11$ حسابی است. قدرنسبت: $t_3 = t_1 + 2d \Rightarrow 11 = 5 + 2d \Rightarrow d = 3$. پس

گام ۳ (ب): دنبالهٔ $20, y, 30$ حسابی است: $30 = 20 + 2d \Rightarrow d = 5$. پس

گام ۴ (پ): در هر دو حالت داریم:

یعنی واسطهٔ حسابی بین دو عدد، میانگین (نصف مجموع) آن دو عدد است. در حالت کلی اگر $x - a = b - x$ باشد، $x = \frac{a+b}{2}$.

گام ۱: سهم‌ها را جملات یک دنبالهٔ حسابی با ۵ جمله می‌گیریم: $t_1, t_2, t_3, t_4, t_5$ با قدرنسبت $d$. مجموع آنها ۱۰۰ است:

گام ۲: سه سهم بزرگ‌تر $t_3, t_4, t_5$ هستند و مجموعشان $3t_1+9d$ است. یک سوم آن برابر $t_1+3d$ می‌شود. دو سهم کوچک‌تر $t_1, t_2$ هستند و مجموعشان $2t_1+d$ است.

گام ۳: طبق شرط مسئله:

گام ۴: این مقدار را در $t_1+2d=20$ قرار می‌دهیم:

گام ۵: سهم‌ها $10, 15, 20, 25, 30$ هستند.
بررسی: مجموع آنها ۱۰۰ است. مجموع سه سهم بزرگ‌تر $20+25+30=75$ است و یک سوم آن ۲۵ می‌شود. مجموع دو سهم کوچک‌تر نیز $10+15=25$ است.