حل تمرین صفحه ۲۰ ریاضی دهم

گام ۱: برای هر دنباله، به‌جای $n$ مقادیر ۱ تا ۴ را قرار می‌دهیم.

گام ۲ (الف): $a_n = 4n$ را حساب می‌کنیم:

الگوی هندسی: شکل $n$ام از $n$ دسته نقطه ساخته می‌شود که در هر دسته ۴ نقطه است (مثلاً $n$ مربع کنار هم که هر کدام ۴ رأس دارند و رأس‌هایشان مشترک نیست).

گام ۳ (ب): $b_n = 3n+1$ را حساب می‌کنیم:

الگوی هندسی: شکل $n$ام شامل $n$ ستون ۳تایی از نقطه‌هاست و ۱ نقطه هم جداگانه به آن اضافه شده است.

گام ۴ (پ): $c_n = n^2+2$ را حساب می‌کنیم:

الگوی هندسی: شکل $n$ام یک مربع $n \times n$ از نقطه‌هاست (یعنی $n^2$ نقطه) و ۲ نقطه هم کنار آن قرار دارد.

گام ۵ (ت): $d_n = n^2+n = n(n+1)$ را حساب می‌کنیم:

الگوی هندسی: شکل $n$ام یک مستطیل از نقطه‌هاست با $n$ سطر و $n+1$ ستون. همچنین می‌توان آن را یک مربع $n\times n$ دانست که یک ستون $n$ تایی به آن چسبیده است.

(الگوهای هندسی دیگر هم قابل قبول‌اند.)

گام ۱: در (الف) تفاضل جمله‌های متوالی $3, 5, 7, 9$ است و تفاضل مرتبهٔ دوم ثابت و برابر ۲ است. پس ضریب $n^2$ برابر $\frac{2}{2}=1$ است و جملهٔ عمومی به شکل $n^2+bn+c$ است.

گام ۲: جملهٔ اول و دوم را قرار می‌دهیم: $1+b+c=5$ و $4+2b+c=8$. از تفریق این دو داریم $3+b=3$، پس $b=0$ و $c=4$. بنابراین:

بررسی: $n=3\Rightarrow 13$ و $n=5\Rightarrow 29$ ✓.

گام ۳: الگوی هندسی (الف): در شکل $n$ام یک مربع $n\times n$ از نقطه‌ها (یعنی $n^2$ نقطه) می‌کشیم و ۴ نقطهٔ ثابت بیرون آن، مثلاً در چهار گوشه، می‌گذاریم. تعداد نقطه‌ها $n^2+4$ می‌شود. این الگوی نظیر یکی از چند پاسخ درست است.

گام ۴: در (ب) تفاضل جمله‌ها $7, 10, 13, 16$ و تفاضل مرتبهٔ دوم ثابت و برابر ۳ است. پس ضریب $n^2$ برابر $\frac{3}{2}$ است و $t_n=\frac{3}{2}n^2+bn+c$.

گام ۵: از جملهٔ اول و دوم داریم $\frac{3}{2}+b+c=5$ و $6+2b+c=12$. تفریق می‌دهد $\frac{9}{2}+b=7$، پس $b=\frac{5}{2}$ و $c=1$. بنابراین:

بررسی: $n=3\Rightarrow \frac{4\times 11}{2}=22$، $n=4\Rightarrow 35$ و $n=5\Rightarrow 51$ ✓.

گام ۶: الگوی هندسی (ب): چون $\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\dots+n$ است، می‌نویسیم $t_n=3\times\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$. یعنی سه مثلث از نقطه‌ها که هر کدام $n$ ردیف (با $1, 2, \dots, n$ نقطه) دارند و یک ردیف $n+1$ نقطه‌ای کنار آنها قرار می‌گیرد. این الگوی نظیر یکی از چند پاسخ درست است.