در هر سطر از جدول زیر یک دنباله آمده است. در هر مورد سه جملۀ بعدی را بنویسید. همچنین در پنج مورد اول سعی کنید یک جملۀ عمومی برای دنباله نیز حدس بزنید. t_1 t_2 t_3 t_4 t_5 t_6 t_7 \ldots t_n \ldots -۱ -۲ -۳ -۴ \ldots -n \ldots ۱ \sqrt{۳} \sqrt{۵} \sqrt{۷} \ldots \ldots ۱ ۴ ۹ ۱۶ \ldots \ldots \circ/۱ \circ/\circ ۱ \circ/\circ\circ ۱ \circ/\circ\circ\circ ۱ \ldots \ldots -۱ ۸ -۲۷ ۶۴ \ldots \ldots ۵ ۱۸ ۳۱ ۴۴ \ldots \ldots -۲ ۱ -\frac{۱}{۲} \frac{۱}{۴} \ldots \ldots ۱ ۲ ۴ ۷ \ldots \ldots ۳ ۱ ۴ ۱ ۵ \ldots \ldots ۱ ۱ ۲ ۳ ۵ \ldots \ldots ۲ ۳ ۵ ۷ \ldots \ldots

سطر ۱) -۵,-۶,-۷ ؛ t_n=-n سطر ۲) ۳,\sqrt{۱۱},\sqrt{۱۳} ؛ t_n=\sqrt{۲n-۱} سطر ۳) ۲۵,۳۶,۴۹ ؛ t_n=n^۲ سطر ۴) \circ/\circ\circ\circ\circ ۱,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ ۱,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ\circ ۱ ؛ t_n=(\circ/۱)^n سطر ۵) -۱۲۵,۲۱۶,-۳۴۳ ؛ t_n=(-۱)^n n^۳ سطر ۶) ۵۷,۷۰,۸۳ سطر ۷) -\frac{۱}{۸},\frac{۱}{۱۶},-\frac{۱}{۳۲} سطر ۸) ۱۱,۱۶,۲۲ سطر ۹) ۹,۲,۶ سطر ۱۰) ۸,۱۳,۲۱ سطر ۱۱) ۱۱,۱۳,۱۷

ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

حل تمرین صفحه ۱۹ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۳ تمرین صفحهٔ ۱۹ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله)، پایهٔ دهم؛ ۱ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

دو دنبالۀ دلخواه مثال بزنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: دنباله یعنی چند عدد که پشت سرهم قرار گرفته‌اند. پس هر آرایش از اعداد با ترتیب مشخص می‌تواند یک دنباله باشد و لازم نیست حتماً الگو داشته باشد.

گام ۲: یک دنبالۀ دارای الگو می‌نویسیم: اعداد زوج مثبت

2, 4, 6, 8, \ldots \qquad (t_n = 2n)

گام ۳: یک دنبالۀ دیگر می‌نویسیم: مربع‌های کامل

1, 4, 9, 16, \ldots \qquad (t_n = n^2)

گام ۴: دنبالۀ دلخواه دیگری مانند $7, 3, 10, 2, \ldots$ نیز قابل قبول است، چون کتاب گفته جملات دنباله ممکن است الگو نداشته باشند. پاسخ‌های دیگر هم درست‌اند.

جواب نهایی

1) مثلاً $2, 4, 6, 8, \ldots$ و $1, 4, 9, 16, \ldots$ (پاسخ‌های دیگر هم ممکن است)

کار در کلاس، سؤال ۲

جملۀ عمومی چند دنباله داده شده است. در هر مورد، جاهای خالی را پر کنید.
الف) $a_n = n^2 - 1 \quad : \quad \circ, 3, \ldots, 15, 24$
ب) $b_n = -n + 4 \quad : \quad 3, 2, 1, \circ, \ldots, -2$
ج) $c_n = -13 + 2n \quad : \quad -11, \ldots, -7, \ldots, -3$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در هر دنباله، جملهٔ خالی را با جایگذاری شمارهٔ جمله در $t_n$ به دست می‌آوریم.

گام ۲: الف) جمله‌ها $0, 3, \ldots, 15, 24$ هستند. جملهٔ سوم خالی است:

a_3 = 3^2 - 1 = 8

بررسی: $a_4 = 15$ و $a_5 = 24$ درست‌اند.

گام ۳: ب) جمله‌ها $3, 2, 1, 0, \ldots, -2$ هستند. جملهٔ پنجم خالی است:

b_5 = -5 + 4 = -1

بررسی: $b_6 = -6 + 4 = -2$ درست است.

گام ۴: ج) جمله‌ها $-11, \ldots, -7, \ldots, -3$ هستند. جملهٔ دوم و چهارم خالی‌اند:

c_2 = -13 + 4 = -9, \qquad c_4 = -13 + 8 = -5

بررسی: $c_1 = -11$ و $c_3 = -7$ و $c_5 = -3$ درست‌اند.

جواب نهایی

الف) $0, 3, 8, 15, 24$ (جای خالی: $8$ )
ب) $3, 2, 1, 0, -1, -2$ (جای خالی: $-1$ )
ج) $-11, -9, -7, -5, -3$ (جاهای خالی: $-9$ و $-5$ )

کار در کلاس، سؤال ۳

در هر سطر از جدول زیر یک دنباله آمده است. در هر مورد سه جملۀ بعدی را بنویسید. همچنین در پنج مورد اول سعی کنید یک جملۀ عمومی برای دنباله نیز حدس بزنید.

$t_1$	$t_2$	$t_3$	$t_4$	$t_5$	$\ldots$	$t_n$	$\ldots$
$-1$	$-2$	$-3$	$-4$		$\ldots$	$-n$	$\ldots$
$1$	$\sqrt{3}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{7}$		$\ldots$		$\ldots$
$1$	$4$	$9$	$16$		$\ldots$		$\ldots$
$\circ/1$	$\circ/\circ 1$	$\circ/\circ\circ 1$	$\circ/\circ\circ\circ 1$		$\ldots$		$\ldots$
$-1$	$8$	$-27$	$64$		$\ldots$		$\ldots$
$5$	$18$	$31$	$44$		$\ldots$		$\ldots$
$-2$	$1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$		$\ldots$		$\ldots$
$1$	$2$	$4$	$7$		$\ldots$		$\ldots$
$3$	$1$	$4$	$1$	$5$	$\ldots$		$\ldots$
$1$	$1$	$2$	$3$	$5$	$\ldots$		$\ldots$
$2$	$3$	$5$	$7$		$\ldots$		$\ldots$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: سطرهای ۱ تا ۵ را بررسی می‌کنیم.

سطر ۱: هر جمله یک واحد از قبلی کمتر است. سه جملۀ بعد $-5,-6,-7$ است و $t_n=-n$ .
سطر ۲: زیر رادیکال اعداد فرد قرار دارند ( $1=\sqrt{1}$ ). سه جملۀ بعد $\sqrt{9}=3,\ \sqrt{11},\ \sqrt{13}$ است و $t_n=\sqrt{2n-1}$ .
سطر ۳: جمله‌ها مربع کامل‌اند. سه جملۀ بعد $25,36,49$ است و $t_n=n^2$ .
سطر ۴: جمله‌ها توان‌های $\circ/1$ هستند. سه جملۀ بعد $\circ/\circ\circ\circ\circ 1,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ 1,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ\circ 1$ است و $t_n=(\circ/1)^n=\dfrac{1}{10^n}$ .
سطر ۵: جمله‌ها مکعب کامل‌اند و علامتشان یکی در میان منفی است. سه جملۀ بعد $-125,\ 216,\ -343$ است و $t_n=(-1)^n\,n^3$ .

گام ۲: سطر ۶: هر جمله ۱۳ واحد از قبلی بیشتر است. سه جملۀ بعد $57,70,83$ است.

گام ۳: سطر ۷: هر جمله از ضرب جملۀ قبل در $-\frac{1}{2}$ به دست می‌آید. سه جملۀ بعد $-\frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ -\frac{1}{32}$ است.

گام ۴: سطر ۸: تفاضل جمله‌های متوالی $1,2,3$ است و هر بار یکی زیاد می‌شود. تفاضل‌های بعدی $4,5,6$ هستند، پس سه جملۀ بعد $11,16,22$ است.

گام ۵: سطرهای ۹ تا ۱۱:

سطر ۹: ارقام عدد $\pi=3/1415926\ldots$ هستند. سه جملۀ بعد $9,2,6$ است.
سطر ۱۰: از جملۀ سوم به بعد، هر جمله برابر مجموع دو جملۀ قبل است (دنبالۀ فیبوناچی). سه جملۀ بعد $8,13,21$ است.
سطر ۱۱: اعداد اول متوالی هستند. سه جملۀ بعد $11,13,17$ است.

جواب نهایی

سطر ۱) $-5,-6,-7$ ؛ $t_n=-n$
سطر ۲) $3,\sqrt{11},\sqrt{13}$ ؛ $t_n=\sqrt{2n-1}$
سطر ۳) $25,36,49$ ؛ $t_n=n^2$
سطر ۴) $\circ/\circ\circ\circ\circ 1,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ 1,\ \circ/\circ\circ\circ\circ\circ\circ 1$ ؛ $t_n=(\circ/1)^n$
سطر ۵) $-125,216,-343$ ؛ $t_n=(-1)^n n^3$
سطر ۶) $57,70,83$
سطر ۷) $-\frac{1}{8},\frac{1}{16},-\frac{1}{32}$
سطر ۸) $11,16,22$
سطر ۹) $9,2,6$
سطر ۱۰) $8,13,21$
سطر ۱۱) $11,13,17$

کار در کلاس، سؤال ۴

الگوی مقابل را درنظر بگیرید.
الف) تعداد مربع‌ها در الگو را به‌صورت یک دنباله تا جملۀ ششم آن بنویسید.
ب) آیا دنباله حاصل یک دنبالۀ خطی است؟ چرا؟

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۹ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس