حل تمرین صفحه ۱۸ ریاضی دهم

گام ۱: در دسته‌بندی امیررضا، هر شکل از دو بخش تشکیل شده است: یک مربع پر از نقطه‌ها و چهار ردیف کناری. شمارۀ شکل را $n$ می‌گیریم.

گام ۲: الگوی نوشته‌شده را بررسی می‌کنیم:

در هر شکل، عدد اول مجذور شمارۀ شکل است و عدد دوم چهار برابر شمارۀ شکل.

گام ۳: پس برای شکل $n$ام داریم:

گام ۴: درستی را با مقادیر دنباله‌ای که در متن آمده است بررسی می‌کنیم:
$t_1=1+4=5$، $t_2=4+8=12$، $t_3=9+12=21$، $t_4=16+16=32$، $t_5=25+20=45$.
این مقادیر با دنبالۀ $5, 12, 21, 32, 45$ برابرند.

گام ۱: در شکل امیرمحمد، هر شکل به یک مربع کامل تبدیل شده است و چهار نقطهٔ گوشه‌اش حذف شده‌اند. ضلع این مربع برای شکل ۱ برابر ۳، برای شکل ۲ برابر ۴ و برای شکل ۳ برابر ۵ نقطه است. پس ضلع مربع برای شکل $n$ برابر $n+2$ است.

گام ۲: تعداد نقاط مربع کامل برابر $(n+2)^2$ است. چهار نقطهٔ گوشه را کم می‌کنیم:

گام ۳: بررسی با چند جمله:
$t_1=9-4=5$، $t_2=16-4=12$، $t_3=25-4=21$، $t_4=36-4=32$.
این مقدارها با دنبالهٔ $5, 12, 21, 32,\dots$ می‌خوانند.

گام ۴: با بسط، شکل ساده‌تر به دست می‌آید:

این همان جملهٔ عمومی به‌دست‌آمده از روش امیررضا است.

گام ۱: از بخش ۳ داریم: $t_n = n^2 + 4n$ و از بخش ۴ داریم: $t_n = (n+2)^2 - 4$. باید نشان دهیم این دو عبارت برابرند.

گام ۲: عبارت بخش ۴ را با اتحاد مربع دو جمله‌ای بسط می‌دهیم:

گام ۳: ساده می‌کنیم:

گام ۴: پس $(n+2)^2 - 4 = n^2 + 4n$ و دو مقدار به‌دست‌آمده برای $t_n$ برابرند. (درستی را با $n=3$ هم می‌توان دید: $3^2+4\times 3 = 21$ و $5^2-4 = 21$.)

گام ۱: جمله‌های دنباله $5, 12, 21, 32, 45, \dots$ هستند. تفاضل جمله‌های متوالی را می‌نویسیم: $7, 9, 11, 13, \dots$ این تفاضل‌ها ثابت نیستند، پس الگو خطی نیست. تفاضل تفاضل‌ها ثابت و برابر ۲ است.

گام ۲: چون تفاضل مرتبۀ دوم ثابت است، جملۀ عمومی به شکل $t_n = n^2 + bn + c$ است. ضریب $n^2$ نصف تفاضل مرتبۀ دوم، یعنی ۱، است.

گام ۳: از $t_1 = 5$ و $t_2 = 12$ داریم:

با کم کردن معادلۀ اول از دوم: $3 + b = 7$، پس $b = 4$ و $c = 0$.

گام ۴: پس $t_n = n^2 + 4n = n(n+4)$. این را می‌توان با یک مستطیل $n \times (n+4)$ از نقطه‌ها هم دید.

گام ۵: بررسی: $t_3 = 3 \times 7 = 21$، $t_4 = 4 \times 8 = 32$ و $t_5 = 5 \times 9 = 45$. این‌ها با جمله‌های دنباله می‌خوانند.

(روش‌های دیگری هم ممکن است؛ پاسخ دوستان شما می‌تواند متفاوت باشد.)