حل تمرین صفحه ۱۷ ریاضی دهم

گام ۱: تعداد مربع‌های رنگی در شکل‌های اول و دوم ۴ و ۸ است، پس از شکل (۱) به شکل (۲) دقیقاً ۴ مربع رنگی اضافه شده است:

گام ۲: در این الگو هر شکل نسبت به شکل قبلی ۴ مربع رنگی بیشتر دارد (بنا بر فرض مسئله که الگو را خطی می‌داند)، یعنی جدول به‌صورت زیر کامل می‌شود:

گام ۳: اختلاف هر دو جملۀ متوالی همواره عددی ثابت (برابر ۴) است:

طبق تعریف کتاب، الگویی که اختلاف جملات متوالی آن ثابت باشد، الگوی خطی است. همچنین جملۀ عمومی آن به شکل $b_n=an+h$ با $a=4$ است.

گام ۱: الگو خطی است و در آن $b_1=4$ و $b_2=8$ است. پس اختلاف هر دو جملۀ متوالی ثابت و برابر است با:

یعنی در هر مرحله ۴ مربع رنگی اضافه می‌شود (جمله‌ها: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، …).

گام ۲: در جملۀ عمومی $b_n=an+h$ ضریب $n$ برابر اختلاف جملات متوالی است، پس $a=4$ و داریم $b_n=4n+h$.

گام ۳: برای حدس زدن $h$ به جملۀ اول نگاه می‌کنیم. باید $b_1=4$ باشد:

گام ۴: بررسی: $b_2=4\times2=8$ ✓ و $b_3=12$ ✓ (با افزایش ۴تایی سازگار است). پس $b_n=4n$.

گام ۱: الگو خطی است و از جدول داریم $b_1 = 4$ و $b_2 = 8$. پس هر جمله ۴ واحد از جملۀ قبل بیشتر است و $a = 4$.

گام ۲: جملۀ عمومی به‌صورت $b_n = 4n + h$ است. با قرار دادن $n=1$ داریم $4 + h = 4$، پس $h = 0$ و

گام ۳: برای شکل شمارۀ ۲۵۰ قرار می‌دهیم $n = 250$:

گام ۱: مقدارهای $b_1=4$ و $b_2=8$ داده شده‌اند و الگو خطی است (بند ۲). پس اختلاف جمله‌های متوالی ثابت و برابر $8-4=4$ است، یعنی $a=4$.

گام ۲: در رابطۀ $b_n = 4n + h$ برای $n=1$ داریم $4 = 4 + h$، پس $h=0$ و جملۀ عمومی $b_n = 4n$ است.

گام ۳: برای اینکه تعداد مربع‌های رنگی ۱۴۴ شود، قرار می‌دهیم:

گام ۴: پس $n = \dfrac{144}{4} = 36$.

گام ۵: بررسی: $b_{36} = 4 \times 36 = 144$ ✓.

گام ۱: در الگوی خطی، اختلاف هر دو جملۀ متوالی باید عددی ثابت باشد. پس ابتدا جملات الگو را پیدا می‌کنیم. از دسته‌بندی امیررضا داریم $t_n = n^2 + 4n$. بنابراین:

گام ۲: اختلاف جملات متوالی را حساب می‌کنیم:

گام ۳: این اختلاف‌ها ثابت نیستند و هر بار ۲ واحد بیشتر می‌شوند. پس الگو خطی نیست. دلیل دیگر این است که جملۀ عمومی $t_n=n^2+4n$ به شکل $an+b$ نیست و جملۀ $n^2$ دارد.