حل تمرین صفحه ۱۵ ریاضی دهم

گام ۱: در روش آیدا، شکل $n$ام از $n$ گروه سه‌تایی چوب‌کبریت و ۲ چوب‌کبریت اضافی تشکیل شده است. این را از الگوی $a_1 = 1(3)+2$، $a_2 = 2(3)+2$، $a_3 = 3(3)+2$ و $a_4 = 4(3)+2$ می‌بینیم. ضریب ۳ برابر شمارهٔ شکل است و عدد ۲ ثابت می‌ماند.

گام ۲: برای شکل دهم، به جای شمارهٔ شکل عدد ۱۰ را می‌گذاریم:

گام ۳: برای شکل $n$ام، شمارهٔ شکل را $n$ می‌گیریم:

گام ۴: بررسی: $a_1 = 3(1)+2 = 5$ و $a_2 = 8$ و $a_3 = 11$ است. این مقدارها با تعداد چوب‌کبریت‌های داده‌شده در مثال برابرند.

گام ۱: در هر شکل، تعداد چوب‌کبریت‌های افقی برابر شمارهٔ شکل است: $1، 2، 3، 4، \dots$ یعنی در شکل $n$ام تعداد آنها $n$ است.

گام ۲: تعداد گروه‌های ۲تایی عمودی یکی بیشتر از شمارهٔ شکل است: $2، 3، 4، 5، \dots$ یعنی در شکل $n$ام تعداد این گروه‌ها $n+1$ است و هر گروه ۲ چوب‌کبریت دارد. پس تعداد چوب‌کبریت‌های عمودی $(n+1)(2)$ است.

گام ۳: مجموع چوب‌کبریت‌های افقی و عمودی، همان $a_n$ است:

گام ۴: درستی را با چند جمله بررسی می‌کنیم:
$a_1 = 1+2(2)=5$ و $a_2 = 2+3(2)=8$ و $a_3 = 3+4(2)=11$ که با مقادیر ۵، ۸ و ۱۱ می‌خواند.

گام ۱: تعداد چوب‌کبریت‌های سه شکل اول را بررسی می‌کنیم: $a_1=5$، $a_2=8$ و $a_3=11$.

گام ۲: اختلاف جمله‌های متوالی را حساب می‌کنیم: $8-5=3$ و $11-8=3$. یعنی هر شکل نسبت به شکل قبلی ۳ چوب‌کبریت بیشتر دارد.

گام ۳: شکل $n$ام را از شکل اول می‌سازیم. از شکل اول به شکل $n$ام، $(n-1)$ بار ۳ چوب‌کبریت اضافه می‌شود:

گام ۴: عبارت را ساده می‌کنیم:

گام ۵: درستی را امتحان می‌کنیم: $a_1 = 3(1)+2 = 5$ و $a_2 = 3(2)+2 = 8$ و $a_3 = 3(3)+2 = 11$. این مقدارها با شکل‌ها می‌خوانند. همان رابطهٔ آیدا به دست آمد. راه‌های دیگر هم ممکن است.

گام ۱: عبارت آیسا را می‌نویسیم: $a_n = n + (n+1)(2)$.

گام ۲: پرانتز را باز می‌کنیم (خاصیت پخش‌پذیری):

گام ۳: جمله‌های هم‌نوع را جمع می‌کنیم:

گام ۴: این همان جواب آیدا است. بررسی: برای $n=1$ داریم $3(1)+2=5$ که با $a_1 = 5$ برابر است.

گام ۱: جملهٔ عمومی الگو داده شده است: $a_n = 3n + 2$. برای شکل بیستم باید $n = 20$ قرار دهیم.

گام ۲: جای‌گذاری:

گام ۳: بررسی: هر شکل نسبت به قبلی ۳ چوب‌کبریت بیشتر دارد و $a_1 = 5$ است؛ پس $a_{20} = 5 + 19 \times 3 = 5 + 57 = 62$ که با جواب بالا یکسان است.

گام ۱: جملهٔ عمومی الگو در متن داده شده است: $a_n = 3n + 2$. می‌خواهیم $n$ را طوری بیابیم که $a_n = 77$ شود.

گام ۲: معادله را می‌نویسیم:

گام ۳: ۲ را به طرف دیگر می‌بریم:

گام ۴: دو طرف را بر ۳ تقسیم می‌کنیم:

گام ۵: بررسی: $a_{25} = 3(25) + 2 = 75 + 2 = 77$ ✓. پس شکل بیست‌وپنجم دارای ۷۷ چوب‌کبریت است.