اگر S فضای نمونهای متناهی و ناتهی برای یک آزمایش تصادفی باشد و A و B پیشامدهایی در این فضا باشند، در اینصورت: I) ۰ \le P(A) \le ۱ زیرا: A \subseteq S \Rightarrow \circ \le n(A) \le \dots\dots \Rightarrow \frac{\circ}{n(S)} \le \frac{n(A)}{n(S)} \le \dots\dots \Rightarrow \circ \le \dots\dots \le ۱ II) P(\varnothing) = \circ, P(S) = ۱ زیرا: P(\varnothing) = \frac{n(\varnothing)}{\dots\dots} = \frac{\dots\dots}{\dots\dots} = \circ, P(S) = \frac{\dots\dots}{\dots\dots} = ۱ III) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) زیرا: n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \xrightarrow{\text{تقسیم طرفین بر } n(S)} \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \dots\dots\dots + \dots\dots\dots - \dots\dots\dots \Rightarrow P(A \cup B) = \dots\dots\dots + \dots\dots\dots - P(A \cap B) برای هر دو پیشامد A و B از فضای نمونهای S، همواره تساوی زیر برقرار است: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند، این تساوی بهصورت زیر نوشته میشود: P(A \cup B) = P(A) + P(B)

حل تمرین صفحه ۱۴۷ ریاضی دهم (گام به گام)

حل تمرین صفحه ۱۴۷ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۱ تمرین صفحهٔ ۱۴۷ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۷: آمار و احتمال)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

اگر S فضای نمونه‌ای متناهی و ناتهی برای یک آزمایش تصادفی باشد و A و B پیشامدهایی در این فضا باشند، در این‌صورت:

I) $0 \le P(A) \le 1$
زیرا: $A \subseteq S \Rightarrow \circ \le n(A) \le \dots\dots \Rightarrow \frac{\circ}{n(S)} \le \frac{n(A)}{n(S)} \le \dots\dots \Rightarrow \circ \le \dots\dots \le 1$

II) $P(\varnothing) = \circ, P(S) = 1$
زیرا: $P(\varnothing) = \frac{n(\varnothing)}{\dots\dots} = \frac{\dots\dots}{\dots\dots} = \circ, P(S) = \frac{\dots\dots}{\dots\dots} = 1$

III) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
زیرا: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \xrightarrow{\text{تقسیم طرفین بر } n(S)}$

\frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \dots\dots\dots + \dots\dots\dots - \dots\dots\dots

\Rightarrow P(A \cup B) = \dots\dots\dots + \dots\dots\dots - P(A \cap B)

برای هر دو پیشامد A و B از فضای نمونه‌ای S، همواره تساوی زیر برقرار است:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند، این تساوی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: (I) چون $A \subseteq S$ است، تعداد اعضای $A$ نمی‌تواند منفی باشد و از تعداد اعضای $S$ بیشتر نیست:

0 \le n(A) \le n(S) \Rightarrow \frac{0}{n(S)} \le \frac{n(A)}{n(S)} \le \frac{n(S)}{n(S)} \Rightarrow 0 \le P(A) \le 1

گام ۲: (II) مجموعهٔ تهی عضوی ندارد و $S$ همهٔ اعضای فضای نمونه‌ای را دارد:

P(\varnothing) = \frac{n(\varnothing)}{n(S)} = \frac{0}{n(S)} = 0, \qquad P(S) = \frac{n(S)}{n(S)} = 1

گام ۳: (III) از رابطهٔ شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه شروع می‌کنیم:

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

گام ۴: دو طرف را بر $n(S)$ تقسیم می‌کنیم:

\frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} - \frac{n(A \cap B)}{n(S)}

گام ۵: هر کسر برابر احتمال پیشامد مربوط است، پس:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

اگر $A$ و $B$ ناسازگار باشند، $A \cap B = \varnothing$ و $P(A \cap B) = 0$ است، پس $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

جواب نهایی

I) جاهای خالی: $n(S)$ ، $\frac{n(S)}{n(S)}$ ، $P(A)$ ← $0 \le P(A) \le 1$
II) $P(\varnothing)=\frac{n(\varnothing)}{n(S)}=\frac{0}{n(S)}=0$ و $P(S)=\frac{n(S)}{n(S)}=1$
III) $\frac{n(A\cup B)}{n(S)}=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ، پس $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.