ریاضی ۱ · فصل ۶: شمارش، بدون شمردن

حل تمرین صفحه ۱۳۸ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۳ تمرین صفحهٔ ۱۳۸ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۶: شمارش، بدون شمردن)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت، سؤال ۲

ادامه از صفحهٔ ۱۳۷

الف) یک مربی قصددارد از بین بازیکنان شماره‌های ۵ و ۴ و ۳ و ۲ و ۱، سه نفر را برای رفتن به زمین بازی انتخاب کند. چند حالت برای این کار امکان دارد؟
با پرکردن جدول مقابل تمام حالات را نمایش دهید.

به زمین می‌روند	به زمین نمی‌روند
۱, ۲, ۳	۴, ۵
۱, ۲, ۴	۳, ۵

ب) این‌بار این مربی قصد دارد از بین همان بازیکنان دو بازیکن انتخاب کند که روی نیمکت بنشینند. چه انتخاب‌هایی دارد؟
پ) بین تعداد انتخاب‌های $\binom{5}{2}$ و $\binom{5}{3}$ چه رابطه‌ای هست؟ چگونه این رابطه را توجیه می‌کنید؟
ت) درستی تساوی $\binom{n}{n-r} = \binom{n}{r}$ را یک‌بار با استفاده از توجیه بالا و یک‌بار با استفاده از فرمول بررسی کنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱ (الف): انتخاب ۳ نفر از ۵ نفر ترتیب ندارد، پس تعداد حالت‌ها $\binom{5}{3}=\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$ است. هر سه‌تایی که به زمین می‌رود، دو نفر باقی‌مانده را تعیین می‌کند که به زمین نمی‌روند. جدول کامل:

به زمین می‌روند	به زمین نمی‌روند
۱, ۲, ۳	۴, ۵
۱, ۲, ۴	۳, ۵
۱, ۲, ۵	۳, ۴
۱, ۳, ۴	۲, ۵
۱, ۳, ۵	۲, ۴
۱, ۴, ۵	۲, ۳
۲, ۳, ۴	۱, ۵
۲, ۳, ۵	۱, ۴
۲, ۴, ۵	۱, ۳
۳, ۴, ۵	۱, ۲

گام ۲ (ب): انتخاب ۲ نفر برای نیمکت $\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10$ حالت دارد. این حالت‌ها دقیقاً همان ستون «به زمین نمی‌روند» جدول بالا هستند:
$\{1,2\}$ ، $\{1,3\}$ ، $\{1,4\}$ ، $\{1,5\}$ ، $\{2,3\}$ ، $\{2,4\}$ ، $\{2,5\}$ ، $\{3,4\}$ ، $\{3,5\}$ ، $\{4,5\}$

گام ۳ (پ): $\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$ . توجیه: به ازای هر انتخاب ۳ نفر برای زمین، یک انتخاب ۲ نفر (بقیه) وجود دارد و برعکس. پس بین این دو دسته انتخاب تناظر یک‌به‌یک برقرار است و تعدادشان برابر است.

گام ۴ (ت): با توجیه بالا: انتخاب $r$ عضو از $n$ عضو همان انتخاب $n-r$ عضوی است که کنار گذاشته می‌شوند، پس $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ .
با فرمول:

\binom{n}{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!\,\big(n-(n-r)\big)!}=\frac{n!}{(n-r)!\,r!}=\binom{n}{r}

جواب نهایی

الف) $\binom{5}{3}=10$ حالت (جدول بالا)
ب) ۱۰ حالت: $\{1,2\}$ ، $\{1,3\}$ ، $\{1,4\}$ ، $\{1,5\}$ ، $\{2,3\}$ ، $\{2,4\}$ ، $\{2,5\}$ ، $\{3,4\}$ ، $\{3,5\}$ ، $\{4,5\}$
پ) $\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$ ؛ چون انتخاب ۳ نفر برای زمین همان انتخاب ۲ نفر باقی‌مانده است (تناظر یک‌به‌یک)
ت) $\binom{n}{n-r}=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}=\binom{n}{r}$ و با توجیه انتخاب مجموعهٔ باقی‌مانده نیز برقرار است

فعالیت، سؤال ۳

ادامه از صفحهٔ ۱۳۷

جاهای خالی را پرکنید.
الف) تعداد زیرمجموعه‌های ۵ عضوی از مجموعه حروف انگلیسی برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
ب) تعداد زیرمجموعه‌های ۵ عضوی از مجموعه حروف انگلیسی که حرف a در آنها هست برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
پ) تعداد زیرمجموعه‌های ۵ عضوی از مجموعه حروف انگلیسی که حرف a در آنها نیست، برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
ت) بنابراین: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}} + \binom{\phantom{n}}{\phantom{r}} = \binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: حروف انگلیسی ۲۶ عضو دارند. در الف باید از بین ۲۶ حرف، ۵ حرف انتخاب کنیم، پس تعداد زیرمجموعه‌ها $\binom{26}{5}$ است.

گام ۲: در ب حرف a حتماً در زیرمجموعه است، پس فقط ۴ عضو دیگر را باید از ۲۵ حرف باقی‌مانده انتخاب کنیم. تعداد حالت‌ها $\binom{25}{4}$ است.

گام ۳: در پ حرف a در زیرمجموعه نیست، پس هر ۵ عضو را از ۲۵ حرف دیگر انتخاب می‌کنیم. تعداد حالت‌ها $\binom{25}{5}$ است.

گام ۴: در ت هر زیرمجموعهٔ ۵ عضوی یا شامل a است یا شامل a نیست و این دو حالت هم‌زمان رخ نمی‌دهند. پس تعداد کل برابر مجموع دو حالت است:

\binom{25}{4}+\binom{25}{5}=\binom{26}{5}

بررسی عددی: $12650 + 53130 = 65780 = \binom{26}{5}$ .

جواب نهایی

الف) $\binom{26}{5}$
ب) $\binom{25}{4}$
پ) $\binom{25}{5}$
ت) $\binom{25}{4}+\binom{25}{5}=\binom{26}{5}$

فعالیت، سؤال ۴

ادامه از صفحهٔ ۱۳۷

فرض کنیم A یک مجموعهٔ n عضوی و a یکی از اعضای آن باشد. ( $a \in A$ )
الف) تعداد زیرمجموعه‌های r عضوی مجموعهٔ A برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
ب) تعداد زیرمجموعه‌های r عضوی A که a در آنها هست، برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
پ) تعداد زیرمجموعه‌های r عضوی A که a در آنها نیست، برابر است با: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$
ت) بنابراین: $\binom{\phantom{n}}{\phantom{r}} + \binom{\phantom{n}}{\phantom{r}} = \binom{\phantom{n}}{\phantom{r}}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: (الف) $A$ مجموعه‌ای $n$ عضوی است. تعداد زیرمجموعه‌های $r$ عضوی آن طبق تعریف برابر است با $\binom{n}{r}$ .

گام ۲: (ب) زیرمجموعه‌هایی که $a$ در آنها هست: عضو $a$ را قبلاً انتخاب شده می‌گیریم و باید $r-1$ عضو دیگر را از بین $n-1$ عضو باقی‌مانده انتخاب کنیم. تعداد آنها $\binom{n-1}{r-1}$ است.

گام ۳: (پ) زیرمجموعه‌هایی که $a$ در آنها نیست: هر $r$ عضو باید از بین $n-1$ عضو غیر از $a$ انتخاب شوند. تعداد آنها $\binom{n-1}{r}$ است.

گام ۴: (ت) هر زیرمجموعهٔ $r$ عضوی یا شامل $a$ است یا نیست و هر دو حالت با هم نمی‌شوند. پس طبق اصل جمع:

\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\binom{n}{r}

جواب نهایی

الف) $\binom{n}{r}$
ب) $\binom{n-1}{r-1}$
پ) $\binom{n-1}{r}$
ت) $\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\binom{n}{r}$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۳۸ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس