حل تمرین صفحه ۱۳۶ ریاضی دهم

گام ۱: قاعده: اگر با عوض شدن ترتیب، حالت جدیدی پیش بیاید، ترتیب اهمیت دارد و باید جایگشت $r$ شیء از $n$ شیء را بشماریم. اگر فقط «کدام اشیاء انتخاب شده‌اند» مهم باشد، ترکیب $r$تایی است.

گام ۲: الف) در کلمهٔ سه‌حرفی، مثلاً «اب‌پ» با «ب‌اپ» فرق دارد. پس ترتیب مهم است و این مورد جایگشت است.

گام ۳: ب) در انتخاب سه شاخه گل از پنج شاخه، فقط مجموعهٔ گل‌های انتخاب‌شده مهم است. پس ترتیب اهمیت ندارد و این مورد ترکیب است.

گام ۴: پ) چون دفاع چپ، راست و وسط نقش‌های متفاوتی هستند، عوض کردن جای افراد حالت جدیدی می‌سازد. پس ترتیب مهم است و این مورد جایگشت است.

گام ۵: ت) برای کنار گذاشتن سه نفر از هفت نفر، فقط مشخص می‌شود چه کسانی کنار می‌روند و ترتیب معنا ندارد. پس این مورد ترکیب است.

گام ۶: ث) سه نفر اول همگی به المپیک می‌روند و جایگاه آن‌ها مهم نیست. پس این مورد ترکیب است. اما در ج) هر نفر مدال متفاوتی (طلا، نقره یا برنز) می‌گیرد و ترتیب مهم است. پس این مورد جایگشت است.

گام ۱: در مواردی که ترتیب مهم است (الف، پ، ج) از جایگشت $P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ استفاده می‌کنیم. در مواردی که ترتیب مهم نیست (ب، ت، ث) از ترکیب $\binom{n}{r}$ استفاده می‌کنیم.

گام ۲: الف) ترتیب حروف مهم است، پس جایگشت ۳ حرف از ۵ حرف است:

گام ۳: ب) فقط انتخاب سه شاخه مهم است، پس:

گام ۴: پ) سه پست (چپ، راست، وسط) متفاوت‌اند و ترتیب مهم است:

گام ۵: ت) انتخاب سه نفر برای کنار گذاشته‌شدن ترتیب ندارد:

گام ۶: ث) سه نفر اول همگی به المپیک می‌روند و رتبهٔ آن‌ها بین خودشان اهمیتی ندارد، پس فقط مجموعهٔ سه‌نفره مهم است:

ج) مدال‌های طلا، نقره و برنز متفاوت‌اند و ترتیب مهم است:

گام ۱: در کل ۱۹ = ۵ + ۶ + ۸ نفر داریم. ترتیب انتخاب اعضای کمیته مهم نیست، پس از ترکیب استفاده می‌کنیم.

گام ۲: (الف) از هر رشته ۲ نفر انتخاب می‌شود و طبق اصل ضرب:

گام ۳: (ب) کمیته ۳ نفره است و از هر یک از ۳ رشته حداقل یک نفر دارد. پس دقیقاً یک نفر از هر رشته باید باشد:

گام ۴: (پ) تعداد کل کمیته‌های ۲ نفره $\binom{19}{2}=171$ است. حالت «هیچ ریاضی‌دانی نیست» یعنی هر دو نفر از ۱۱ نفر غیرریاضی‌دان انتخاب شوند:

گام ۵: تعداد حالت‌هایی که حداقل یک ریاضی‌دان دارند برابر است با:

بررسی: ۱ ریاضی‌دان و ۱ غیرریاضی‌دان $8\times 11=88$ حالت و ۲ ریاضی‌دان $\binom{8}{2}=28$ حالت دارد و $88+28=116$.

گام ۱: کل افراد ۶ نفرند. اگر بدون شرط بخواهیم ۲ نفر انتخاب کنیم، تعداد حالت‌ها $\binom{6}{2} = 15$ است.

گام ۲: حالت‌هایی که دو نفر هم‌رشته باشند را حساب می‌کنیم: از هر رشته فقط یک حالت (هر دو مدرس آن رشته) وجود دارد، یعنی $3 \times \binom{2}{2} = 3$ حالت.

گام ۳: پس تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با $15 - 3 = 12$.

گام ۴ (راه دوم، اصل ضرب): ابتدا دو رشتهٔ متفاوت را از بین سه رشته انتخاب می‌کنیم: $\binom{3}{2} = 3$ حالت. سپس از هر رشتهٔ انتخاب‌شده یک مدرس برمی‌گزینیم: $\binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 4$ حالت. بنابراین $3 \times 4 = 12$.