۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی ۱ · فصل ۶: شمارش، بدون شمردن

حل تمرین صفحه ۱۲۹ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۷ تمرین صفحهٔ ۱۲۹ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۶: شمارش، بدون شمردن)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۳

ادامه از صفحهٔ ۱۲۸

حاصل ضرب‌های زیر را مانند نمونه با استفاده از نماد فاکتوریل نمایش دهید.
الف) 9×8=9!7!9 \times 8 = \frac{9!}{7!}
ب) 9×8×7×69 \times 8 \times 7 \times 6
پ) 11×10×911 \times 10 \times 9
ت) 88
ث) n(n−1)n(n - 1)
ج) n(n−1)(n−2)(n−3)n(n - 1)(n - 2)(n - 3)

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ایده: برای نوشتن حاصل‌ضرب متوالی و کاهشی از nn به پایین، آن را در عدد 11 به شکل k!k!\frac{k!}{k!} ضرب می‌کنیم تا تمام عامل‌های کمتر کامل شوند. کافی است عددی که آخرین عامل را دنبال می‌کند، یعنی یکی کمتر از آخرین عامل، پیدا کنیم و فاکتوریل آن را در مخرج بنویسیم.

گام ۲: الف) نمونه: 9×8=9!7!9\times 8=\dfrac{9!}{7!}.

گام ۳: ب) آخرین عامل 66 است، پس باید 5!5! را در مخرج بگذاریم:

9×8×7×6=9×8×7×6×5!5!=9!5!9\times8\times7\times6=\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{5!}=\frac{9!}{5!}

پ) آخرین عامل 99 است، پس مخرج 8!8! است:

11×10×9=11!8!11\times10\times9=\frac{11!}{8!}

گام ۴: ت) عدد 88 را می‌توان یک عامل در نظر گرفت و 8!=8×7!8!=8\times7! است، پس:

8=8×7!7!=8!7!8=\frac{8\times7!}{7!}=\frac{8!}{7!}

گام ۵: ث) آخرین عامل n−1n-1 است، پس مخرج (n−2)!(n-2)! است:

n(n−1)=n!(n−2)!n(n-1)=\frac{n!}{(n-2)!}

ج) آخرین عامل n−3n-3 است، پس مخرج (n−4)!(n-4)! است:

n(n−1)(n−2)(n−3)=n!(n−4)!n(n-1)(n-2)(n-3)=\frac{n!}{(n-4)!}

جواب نهایی

الف) 9!7!\dfrac{9!}{7!}
ب) 9!5!\dfrac{9!}{5!}
پ) 11!8!\dfrac{11!}{8!}
ت) 8!7!\dfrac{8!}{7!}
ث) n!(n−2)!\dfrac{n!}{(n-2)!}
ج) n!(n−4)!\dfrac{n!}{(n-4)!}

فعالیت، سؤال ۱

تعداد کلمات هفت حرفی که بدون تکرار حروف با حروف a,b,d,e,f,s,t\mathrm{a, b, d, e, f, s, t} می‌توان نوشت؛ یعنی تعداد جایگشت‌های هفت شیء متمایز برابر است با …………\dots \dots \dots \dots .

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: هفت حرف a,b,d,e,f,s,t\mathrm{a, b, d, e, f, s, t} متمایز هستند و می‌خواهیم همهٔ آن‌ها را بدون تکرار کنار هم بچینیم تا کلمهٔ هفت‌حرفی ساخته شود.

گام ۲: برای حرف اول ۷ انتخاب داریم، برای حرف دوم ۶ انتخاب (چون یک حرف مصرف شده)، برای حرف سوم ۵ انتخاب و به همین ترتیب تا حرف هفتم که فقط ۱ انتخاب دارد.

گام ۳: طبق اصل ضرب:

7×6×5×4×3×2×1=7!=50407 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7! = 5040

جواب نهایی

1) 7×6×5×4×3×2×1=7!=50407 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7! = 5040

فعالیت، سؤال ۲

حال با توجه به اصل ضرب می‌خواهیم تعداد کلمات سه حرفی با حروف متمایز را که با همان هفت حرف بالا می‌توان نوشت، به‌دست آوریم.

  • برای انتخاب اولین حرف از حروف کلمهٔ سه حرفی چند انتخاب داریم؟ برای انتخاب دوم و سوم حرف چطور؟
  • بنابراین تعداد کلمات سه حرفیِ موردنظر برابر است با …………\dots \dots \dots \dots

در واقع آنچه به‌دست آمد، تعداد راه‌های چیدن سه شیء از هفت شیء متمایز یا به عبارتی تعداد جایگشت‌های سه‌تایی از هفت شیء متمایز است.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: کلمهٔ سه‌حرفی سه جایگاه دارد و حروف باید متمایز باشند (بدون تکرار). هفت حرف a,b,d,e,f,s,t\mathrm{a, b, d, e, f, s, t} در اختیار داریم.

گام ۲: برای حرف اول، ۷ انتخاب داریم. چون حرفی تکرار نمی‌شود، برای حرف دوم ۶ انتخاب و برای حرف سوم ۵ انتخاب باقی می‌ماند.

گام ۳: طبق اصل ضرب، تعداد کلمات سه‌حرفی برابر است با:

7×6×5=2107 \times 6 \times 5 = 210

جواب نهایی

حرف اول: ۷ انتخاب، حرف دوم: ۶ انتخاب، حرف سوم: ۵ انتخاب؛ تعداد کلمات سه‌حرفی =7×6×5=210= 7\times6\times5 = 210

فعالیت، سؤال ۳

تعداد جایگشت‌های چهارتایی از نه شیء متمایز را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: جایگشت‌های چهارتایی از نه شیء متمایز یعنی چیدن ۴ شیء از بین ۹ شیء با در نظر گرفتن ترتیب.

گام ۲: برای جایگاه اول ۹ انتخاب، برای دوم ۸ انتخاب، برای سوم ۷ انتخاب و برای چهارم ۶ انتخاب داریم. طبق اصل ضرب:

9×8×7×6=30249 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024

گام ۳: بررسی با فرمول:

P(9,4)=9!5!=9×8×7×6=3024\mathrm{P}(9,4)=\frac{9!}{5!}=9\times 8\times 7\times 6=3024

جواب نهایی

3) 9×8×7×6=30249 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 (برابر 9!5!\frac{9!}{5!})

فعالیت، سؤال ۴

اعداد به‌دست آمده در مراحل ۲ و ۳ را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در مرحلهٔ ۲، تعداد جایگشت‌های سه‌تایی از هفت شیء متمایز برابر است با 7×6×5=2107\times 6\times 5 = 210.

گام ۲: برای نوشتن با فاکتوریل، حاصل‌ضرب را به 4×3×2×14\times 3\times 2\times 1 ضرب و تقسیم می‌کنیم:

7×6×5=7×6×5×4!4!=7!4!=7!(7−3)!7\times 6\times 5=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{4!}=\frac{7!}{4!}=\frac{7!}{(7-3)!}

گام ۳: در مرحلهٔ ۳، تعداد جایگشت‌های چهارتایی از نه شیء متمایز برابر است با 9×8×7×6=30249\times 8\times 7\times 6 = 3024.

گام ۴: به همین ترتیب، ضرب و تقسیم بر 5!5! می‌دهد:

9×8×7×6=9!5!=9!(9−4)!9\times 8\times 7\times 6=\frac{9!}{5!}=\frac{9!}{(9-4)!}

جواب نهایی

4) مرحلهٔ ۲: 7×6×5=7!4!=2107\times6\times5=\dfrac{7!}{4!}=210 ؛ مرحلهٔ ۳: 9×8×7×6=9!5!=30249\times8\times7\times6=\dfrac{9!}{5!}=3024

فعالیت، سؤال ۵

تعداد جایگشت‌های سه‌تایی از nn شیء متمایز را به‌دست آورید و آن‌را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: برای ساختن ترتیب‌های سه‌تایی از nn شیء متمایز، سه جایگاه داریم: اول، دوم و سوم.

گام ۲: برای جایگاه اول nn انتخاب داریم. چون تکرار مجاز نیست، برای جایگاه دوم n−1n-1 انتخاب و برای جایگاه سوم n−2n-2 انتخاب باقی می‌ماند.

گام ۳: طبق اصل ضرب:

P(n,3)=n(n−1)(n−2)\mathrm{P}(n,3)=n(n-1)(n-2)

گام ۴: برای نوشتن با فاکتوریل، صورت و مخرج را در (n−3)!(n-3)! ضرب می‌کنیم:

n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2) (n−3)!(n−3)!=n!(n−3)!n(n-1)(n-2)=\frac{n(n-1)(n-2)\,(n-3)!}{(n-3)!}=\frac{n!}{(n-3)!}

(این با فرمول P(n,r)=n!(n−r)!\mathrm{P}(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!} برای r=3r=3 سازگار است.)

جواب نهایی

n(n−1)(n−2)=n!(n−3)!n(n-1)(n-2)=\dfrac{n!}{(n-3)!}

فعالیت، سؤال ۶

تعداد جایگشت‌های rrتایی از nn شیء متمایز (0≤r≤n0 \le r \le n) را به‌دست آورید و آن‌را با استفاده از فاکتوریل بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: می‌خواهیم rr شیء را از بین nn شیء متمایز طوری بچینیم که ترتیب مهم باشد؛ یعنی rr جایگاه را پُر کنیم و از اصل ضرب استفاده می‌کنیم.

گام ۲: برای جایگاه اول nn انتخاب داریم، برای جایگاه دوم n−1n-1 انتخاب (چون یک شیء مصرف شده است)، برای جایگاه سوم n−2n-2 انتخاب و به همین ترتیب. برای جایگاه rrام تعداد انتخاب‌ها n−(r−1)=n−r+1n-(r-1)=n-r+1 است.

گام ۳: طبق اصل ضرب:

P(n,r)=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)\mathrm{P}(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

گام ۴: برای نوشتن با فاکتوریل، صورت و مخرج را در (n−r)!=(n−r)(n−r−1)⋯2×1(n-r)!=(n-r)(n-r-1)\cdots 2\times 1 ضرب می‌کنیم:

n(n−1)⋯(n−r+1)=n(n−1)⋯(n−r+1) (n−r)!(n−r)!=n!(n−r)!n(n-1)\cdots(n-r+1)=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)\,(n-r)!}{(n-r)!}=\frac{n!}{(n-r)!}

گام ۵: بررسی: برای r=nr=n داریم n!0!=n!\frac{n!}{0!}=n! که همان تعداد جایگشت‌های nn شیء است، و برای r=0r=0 مقدار n!n!=1\frac{n!}{n!}=1 است (یک حالت: هیچ شیئی انتخاب نکردن).

جواب نهایی

6) P(n,r)=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!\mathrm{P}(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\dfrac{n!}{(n-r)!}

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۲۹ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس