حل تمرین صفحه ۱۱۷ ریاضی دهم

گام ۱: هر تابع در بازهٔ $[-2,3]$ پیوسته است. پس برد آن از کوچک‌ترین تا بزرگ‌ترین مقدار تابع در این بازه است. این مقادیر را در رأس نمودار (اگر در بازه باشد) و در دو انتهای بازه، یعنی $x=-2$ و $x=3$، حساب می‌کنیم.

گام ۲: توابع سهمی‌شکل:

• الف) $y=x^2-3$: رأس در $x=0$ با $y=-3$. در انتها: $y(-2)=1$ و $y(3)=6$. برد $[-3,6]$.
• ب) $y=-x^2+2$: رأس در $x=0$ با $y=2$ (بیشینه). در انتها: $y(-2)=-2$ و $y(3)=-7$. برد $[-7,2]$.
• ث) $y=(x+1)^2$: رأس در $x=-1$ با $y=0$. در انتها: $y(-2)=1$ و $y(3)=16$. برد $[0,16]$.
• ح) $y=-(x+2)^2$: رأس در $x=-2$ با $y=0$ (بیشینه). در انتها: $y(3)=-25$. برد $[-25,0]$.
• د) $y=(x-2)^2+3$: رأس در $x=2$ با $y=3$. در انتها: $y(-2)=19$ و $y(3)=4$. برد $[3,19]$.
• ر) $y=(x+\frac12)^2-3$: رأس در $x=-\frac12$ با $y=-3$. در انتها: $y(-2)=\frac94-3=-\frac34$ و $y(3)=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$. برد $[-3,\frac{37}{4}]$.

گام ۳: توابع قدر مطلقی:

• پ) $y=|x|$: کمینه $0$ در $x=0$ و بیشینه $y(3)=3$. برد $[0,3]$.
• ت) $y=-|x|$: بیشینه $0$ و کمینه $y(3)=-3$. برد $[-3,0]$.
• ج) $y=|x|-\frac12$: کمینه $-\frac12$ و بیشینه $y(3)=\frac52$. برد $[-\frac12,\frac52]$.
• چ) $y=|x-2|$: کمینه $0$ در $x=2$. در انتها: $y(-2)=4$ و $y(3)=1$. برد $[0,4]$.
• خ) $y=-|x|-2$: بیشینه $-2$ و کمینه $y(3)=-5$. برد $[-5,-2]$.
• ذ) $y=|x|-2$: کمینه $-2$ و بیشینه $y(3)=1$. برد $[-2,1]$.

گام ۱: شیب خط را حساب می‌کنیم: $m=\dfrac{3-3}{4-0}=0$.

گام ۲: چون شیب صفر است، تابع ثابت است و ضابطه‌اش $f(x)=3$ می‌شود. عرض از مبدأ هم همان $f(0)=3$ است.

گام ۳: مقدار تابع ثابت به $x$ بستگی ندارد، پس:

گام ۱: زمان تماس را $t$ (بر حسب دقیقه) و هزینه را $C(t)$ (بر حسب هزار تومان) می‌گیریم. طبق صورت مسئله، برای $t \le 3$ هزینه ۲ است و بعد از آن به ازای هر دقیقهٔ اضافه ۱ واحد اضافه می‌شود.

گام ۲: ضابطهٔ تابع پله‌ای هزینه تا دقیقهٔ ۶ چنین است:

گام ۳: نمودار را رسم می‌کنیم. محور افقی $t$ و محور عمودی $C$ است. چهار پارهٔ افقی رسم می‌کنیم:

• از $t=0$ تا $t=3$ در ارتفاع ۲؛ ابتدای آن در $t=0$ توخالی و انتهای آن در $(3,2)$ توپر است.
• از $t=3$ تا $t=4$ در ارتفاع ۳؛ ابتدای آن $(3,3)$ توخالی و انتهای آن $(4,3)$ توپر است.
• از $t=4$ تا $t=5$ در ارتفاع ۴؛ ابتدای آن $(4,4)$ توخالی و انتهای آن $(5,4)$ توپر است.
• از $t=5$ تا $t=6$ در ارتفاع ۵؛ ابتدای آن $(5,5)$ توخالی و انتهای آن $(6,5)$ توپر است.

گام ۴: نمودار پله‌ای است و در $t=3,4,5$ می‌پرد. هر پله از سمت چپ باز و از سمت راست بسته است. برد تابع $\{2,3,4,5\}$ است.

گام ۱: رابطه وقتی تابع است که به هر $x$ از دامنه فقط یک $y$ نسبت داده شود. پس برای هر دو رابطه بررسی می‌کنیم که دو ضابطه روی یک $x$ مشترک تعریف شده‌اند یا نه.

گام ۲: در $f$ ضابطهٔ $y=x$ برای $x>0$ و ضابطهٔ $y=x+2$ برای $x\le 2$ است. بازهٔ $0<x\le 2$ در هر دو شرط صدق می‌کند. مثلاً برای $x=1$ داریم $f(1)=1$ و هم $f(1)=3$. یک ورودی دو خروجی دارد، پس $f$ تابع نیست.

گام ۳: در $g$ ضابطهٔ $y=2x$ برای $x<0$ و ضابطهٔ $y=x+1$ برای $x\ge 0$ است. این دو بازه هیچ عضو مشترکی ندارند و اجتماعشان $\mathbb{R}$ است. پس هر $x$ دقیقاً یک خروجی دارد و $g$ تابع است.

گام ۴: نمودار $f$ (توضیح کلامی):

• نیم‌خط $y=x$ را برای $x>0$ رسم می‌کنیم، با دایرهٔ توخالی در مبدأ.
• نیم‌خط $y=x+2$ را برای $x\le 2$ رسم می‌کنیم. این نیم‌خط از نقطه‌های $(0,2)$ و $(-2,0)$ می‌گذرد و در $(2,4)$ با نقطهٔ توپر تمام می‌شود.
• روی بازهٔ $0<x\le 2$ دو خط بالای هم قرار می‌گیرند. همین نشان می‌دهد $f$ تابع نیست، چون یک خط قائم در این بازه نمودار را در دو نقطه قطع می‌کند.

گام ۵: نمودار $g$ (توضیح کلامی):

• نیم‌خط $y=2x$ را برای $x<0$ رسم می‌کنیم، مثلاً از $(-1,-2)$ می‌گذرد و در مبدأ با دایرهٔ توخالی تمام می‌شود.
• نیم‌خط $y=x+1$ را برای $x\ge 0$ رسم می‌کنیم. این نیم‌خط از $(0,1)$ با نقطهٔ توپر شروع می‌شود و از $(1,2)$ می‌گذرد.
• هر خط قائم نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند، پس $g$ تابع است.

گام ۱: نمودار سهمی است، پس ضابطهٔ آن به صورت $f(x)=ax^2+bx+c$ است. محور $y$ها را در نقطه‌ای به عرض ۱ قطع کرده، یعنی $f(0)=1$ و در نتیجه $c=1$.

گام ۲: نقطهٔ $(1,-2)$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

نقطهٔ $(2,-3)$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

گام ۳: معادلهٔ دوم را از اولی کم می‌کنیم: $(2a+b)-(a+b)=-2-(-3)$، پس $a=1$ و $b=-4$. بنابراین:

درستی: $f(1)=1-4+1=-2$ و $f(2)=4-8+1=-3$.

گام ۴: نمودار همان نمودار $y=x^2$ است که ۲ واحد به راست و ۳ واحد به پایین رفته است. رأس سهمی $(2,-3)$ است و دهانهٔ آن رو به بالاست. نقاط کمکی: $(0,1)$، $(1,-2)$، $(2,-3)$، $(3,-2)$ و $(4,1)$. این نقاط را به‌صورت منحنی هموار به هم وصل می‌کنیم.

گام ۵: دامنه همهٔ اعداد حقیقی است. کمترین مقدار تابع $-3$ است که در رأس به دست می‌آید، پس برد $[-3,+\infty)$ است.