حل تمرین صفحه ۱۱۳ ریاضی دهم

گام ۱: رسم نمودار $g$. نمودار سه قسمت دارد:

• برای $x\le -3$ نیم‌خط $y=-\frac12x$ است. از نقطهٔ توپر $(-3,\frac32)$ شروع می‌شود و از $(-4,2)$ و $(-6,3)$ می‌گذرد.
• برای $-3<x\le 2$ پاره‌خط افقی $y=1$ است. نقطهٔ ابتدایی $(-3,1)$ توخالی و نقطهٔ انتهایی $(2,1)$ توپر است.
• برای $x>2$ نیم‌خط $y=2x-5$ است. از نقطهٔ توخالی $(2,-1)$ شروع می‌شود و از $(3,1)$ و $(4,3)$ می‌گذرد.

گام ۲: دامنه و برد $g$. قسمت‌های تابع همهٔ اعداد حقیقی را می‌پوشانند، پس $D_g=\mathbb R$. بردها:

• برای $x>2$: $2x-5>-1$، یعنی $(-1,+\infty)$.
• برای $-3<x\le2$: فقط $\{1\}$.
• برای $x\le-3$: $-\frac x2\ge\frac32$، یعنی $[\frac32,+\infty)$.

اجتماع این سه مجموعه $R_g=(-1,+\infty)$ است.

گام ۳: رسم نمودار $f$.

• برای $x>0$ شاخهٔ راست سهمی $y=x^2$ است. از نقطهٔ توخالی $(0,0)$ شروع می‌شود و از $(1,1)$ و $(2,4)$ می‌گذرد.
• برای $x\le0$ نیم‌خط $y=3x+1$ است. از نقطهٔ توپر $(0,1)$ شروع می‌شود و از $(-1,-2)$ و $(-\frac13,0)$ می‌گذرد.

گام ۴: دامنه و برد $f$. $D_f=\mathbb R$. برد قسمت اول $(0,+\infty)$ و برد قسمت دوم $(-\infty,1]$ است. اجتماع آن‌ها کل $\mathbb R$ می‌شود، پس $R_f=\mathbb R$.

گام ۵: محاسبهٔ مقادیر. در صورت سؤال $f(0)$ دو بار آمده و احتمالاً اشتباه چاپی است، پس یک بار حساب می‌شود.

• $f(0)=3(0)+1=1$
• $g(0)=1$، چون $-3<0\le2$
• $f(5)=5^2=25$
• $g(2)=1$، چون $2$ در بازهٔ $-3<x\le2$ است
• $f(-2)=3(-2)+1=-5$
• $g(-\frac15)=1$، چون $-3<-\frac15\le2$

گام ۱: نمودار $f(x)=2x+3$ از انتقال نمودار $f(x)=2x$ به اندازهٔ ۳ واحد به سمت بالا (در امتداد محور $y$ها) به‌دست آمده است. هر نقطهٔ $(x,y)$ از نمودار اول به $(x,y+3)$ می‌رود. مثلاً $(0,0)$ به $(0,3)$ می‌رود.

گام ۲: به همین ترتیب $g(x)=|x|+3$ از انتقال نمودار $|x|$ و $h(x)=x^2+3$ از انتقال نمودار $x^2$ به اندازهٔ ۳ واحد به بالا رسم شده‌اند. چون $k=3>0$ است، انتقال در جهت مثبت محور $y$ است.

گام ۳: برای رسم توابع با $k=-\frac{3}{4}<0$، هر سه نمودار $2x$ و $|x|$ و $x^2$ را به اندازهٔ $\frac{3}{4}$ واحد به سمت پایین منتقل می‌کنیم. هر نقطهٔ $(x,y)$ به $(x,y-\frac34)$ می‌رود.

گام ۴: $f(x)=2x-\frac34$ خطی با شیب ۲ است و موازی $y=2x$ رسم می‌شود. این خط محور $y$ها را در $(0,-\frac34)$ و محور $x$ها را در $x=\frac38$ قطع می‌کند.

گام ۵: $g(x)=|x|-\frac34$ همان شکل «V» است که رأس آن از $(0,0)$ به $(0,-\frac34)$ رفته است. محور $x$ها را در $x=\pm\frac34$ قطع می‌کند و برد آن $y\ge -\frac34$ است.

گام ۶: $h(x)=x^2-\frac34$ همان سهمی است که رأس آن به $(0,-\frac34)$ رفته است. محور $x$ها را در $x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ قطع می‌کند و برد آن $y\ge-\frac34$ است. دامنهٔ هر سه تابع $\mathbb{R}$ است و برد $f$ نیز $\mathbb{R}$ است. (شکل‌ها را می‌توان با جدول نقاط نیز رسم کرد؛ نمودار توصیف‌شده یکتاست.)