اگر تابعی با نمایش جبری f(n)=n^۲+۱ داده شده باشد و دامنهٔ آن A=\{۱, ۲, ۳, ۴\} باشد، برد تابع f را بهدست آورید.

برد f=\{۲, ۵, ۱۰, ۱۷\}

حل تمرین صفحه ۱۰۲ ریاضی دهم (گام به گام)

حل تمرین صفحه ۱۰۲ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۱۰۲ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۵: تابع)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

دنبالهٔ شکل‌های زیر را درنظر بگیرید:

[شکل ۱: دنبالهٔ شکل‌های دایره‌ای از شکل اول تا شکل چهارم و ادامه]

جدول را کامل کنید.

شماره شکل	$1$	$2$	$3$	$4$	$\Delta$	$6$	$\dots$	$100$	$\dots$	$n$	$\dots$
تعداد دایره‌ها	$1$	$3$					$\dots$		$\dots$		$\dots$

چرا این جدول یک تابع را نشان می‌دهد؟ نمایش زوج مرتبی این تابع:

f=\{(1, 1), (2, 3), (3, \Delta), \dots, (100, \quad ), \dots, (n, \quad ), \dots\}

نمودار پیکانی و نمودار مختصاتی این تابع را رسم کنید.
دامنه و برد این تابع را بنویسید. دامنه و برد چه مجموعه‌هایی هستند؟ نام ببرید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: از متن درس می‌دانیم $f(3)=5$ و $f(4)=7$ و $f(n)=2n-1$ . پس تعداد دایره‌ها در هر شکل از رابطهٔ $2n-1$ به‌دست می‌آید (هر بار ۲ دایره اضافه می‌شود):

شماره شکل	۱	۲	۳	۴	۵	۶	$\dots$	۱۰۰	$\dots$	$n$
تعداد دایره‌ها	۱	۳	۵	۷	۹	۱۱	$\dots$	۱۹۹	$\dots$	$2n-1$

گام ۲: این جدول تابع است، چون به هر شمارهٔ شکل دقیقاً یک تعداد دایره نظیر می‌شود. هیچ شماره‌ای دو تعداد متفاوت ندارد، یعنی هیچ دو زوج مرتبی مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت ندارند.

گام ۳: نمایش زوج مرتبی:

f=\{(1,1),(2,3),(3,5),\dots,(100,199),\dots,(n,2n-1),\dots\}

گام ۴: نمودار پیکانی: در سمت چپ اعداد طبیعی $1,2,3,\dots$ و در سمت راست $1,3,5,\dots$ را می‌نویسیم و پیکان‌های $1\to1$ ، $2\to3$ ، $3\to5$ ، $4\to7$ و $\dots$ را رسم می‌کنیم. از هر عضو دامنه فقط یک پیکان خارج می‌شود.
نمودار مختصاتی: نقاط جدا از هم $(1,1)$ ، $(2,3)$ ، $(3,5)$ ، $(4,7)$ و $\dots$ را در صفحهٔ مختصات (محور افقی شمارهٔ شکل، محور عمودی تعداد دایره‌ها) نشان می‌دهیم. این نقاط روی یک خط راست قرار دارند ولی به هم وصل نمی‌شوند.

گام ۵: دامنه مجموعهٔ همهٔ شماره‌های شکل است: $D_f=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N}$ .
برد مجموعهٔ همهٔ مقادیر $2n-1$ است: $R_f=\{1,3,5,7,\dots\}$ . دامنه مجموعهٔ اعداد طبیعی و برد مجموعهٔ اعداد طبیعی فرد است (زیرمجموعه‌ای از $\mathbb{N}$ ).

جواب نهایی

جدول: ۵، ۷، ۹، ۱۱، ...، ۱۹۹، ...، $2n-1$ ؛ جدول تابع است چون به هر شمارهٔ شکل فقط یک تعداد دایره نظیر می‌شود.
زوج‌های مرتب: $(100,199)$ و $(n,2n-1)$ ، یعنی $f(n)=2n-1$ .
نمودارها: پیکانی با پیکان‌های $1\to1$ ، $2\to3$ ، $3\to5$ ، ...؛ مختصاتی با نقاط جدای $(1,1)$ ، $(2,3)$ ، $(3,5)$ ، ... روی یک خط.
دامنه: مجموعهٔ اعداد طبیعی $\mathbb{N}$ ؛ برد: $\{1,3,5,\dots\}$ یعنی مجموعهٔ اعداد طبیعی فرد.

کار در کلاس

اگر تابعی با نمایش جبری $f(n)=n^2+1$ داده شده باشد و دامنهٔ آن $A=\{1, 2, 3, 4\}$ باشد، برد تابع $f$ را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: دامنهٔ تابع $A=\{1, 2, 3, 4\}$ است. برای به‌دست آوردن برد، مقدار تابع را در هر عضو دامنه حساب می‌کنیم.

گام ۲: مقدارها را حساب می‌کنیم:

f(1)=1^2+1=2,\quad f(2)=2^2+1=5

f(3)=3^2+1=10,\quad f(4)=4^2+1=17

گام ۳: مجموعهٔ همهٔ مؤلفه‌های دوم زوج‌های مرتب، یعنی $f=\{(1,2),(2,5),(3,10),(4,17)\}$ ، برد تابع است.

جواب نهایی

برد $f=\{2, 5, 10, 17\}$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.