در جدول زیر رابطهٔ بین ضلع یک مربع و محیط آن داده شده است. جدول را کامل کنید. طول ضلع \frac{۱}{۲} ۱ \frac{۳}{۲} ۲ محیط ۲ ۴ ۲۰ نمایش رابطهٔ داده شده را بهصورت مجموعه زوجهای مرتب بنویسید. چرا این رابطه تابع است؟ دامنه و برد این تابع را بنویسید.

1) محیطهای خالی: ۶ و ۸ و ضلع خالی: ۵؛ f=\{(\frac{۱}{۲},۲),(۱,۴),(\frac{۳}{۲},۶),(۲,۸),(۵,۲۰)\}؛ تابع است چون هر ضلع فقط یک محیط دارد؛ دامنه =\{\frac{۱}{۲},۱,\frac{۳}{۲},۲,۵\} و برد =\{۲,۴,۶,۸,۲۰\}

ریاضی ۱ · فصل ۵: تابع

حل تمرین صفحه ۱۰۱ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۴ تمرین صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۵: تابع)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

در جدول زیر رابطهٔ بین تعدادی چند ضلعی و مجموع زوایای داخلی آنها داده شده است. جدول را کامل کنید.

چندضلعی	مثلث	مربع	لوزی	پنج ضلعی
مجموع زوایای داخلی (درجه)	$1\Lambda\circ^\circ$

این رابطه را به‌صورت زوج مرتبی نمایش دهید.

f=\{(\text{مثلث}, 180), (\text{مربع}, \quad ), (\text{لوزی}, \quad ), (\text{پنج ضلعی}, \quad )\}

چرا $f$ یک تابع است؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مجموع زوایای داخلی یک $n$ ضلعی از رابطهٔ $(n-2)\times 180^\circ$ به‌دست می‌آید. برای مثلث $(3-2)\times180=180$ است.

گام ۲: مربع چهارضلعی است: $(4-2)\times180=360$ . لوزی هم چهارضلعی است، پس مجموع زوایای داخلی آن $360$ است. پنج‌ضلعی: $(5-2)\times180=540$ .

چندضلعی	مثلث	مربع	لوزی	پنج ضلعی
مجموع زوایای داخلی (درجه)	$180$	$360$	$360$	$540$

گام ۳: نمایش به‌صورت زوج مرتب:

f=\{(\text{مثلث}, 180), (\text{مربع}, 360), (\text{لوزی}, 360), (\text{پنج ضلعی}, 540)\}

گام ۴: $f$ تابع است، چون به هر چندضلعی دقیقاً یک عدد (مجموع زوایای داخلی‌اش) نسبت داده شده است. هیچ دو زوج مرتبی با مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت نداریم. اینکه مربع و لوزی هر دو عدد $360$ دارند اشکالی ندارد، چون مؤلفه‌های اول آن‌ها متفاوت‌اند.

جواب نهایی

جدول: $180$ ، $360$ ، $360$ ، $540$ (به ترتیب برای مثلث، مربع، لوزی، پنج‌ضلعی)
زوج‌ها: $f=\{(\text{مثلث},180),(\text{مربع},360),(\text{لوزی},360),(\text{پنج ضلعی},540)\}$
$f$ تابع است، چون هر چندضلعی دقیقاً یک مجموع زوایای داخلی دارد (مؤلفه‌های اول تکراری با مؤلفهٔ دوم متفاوت ندارد).

کار در کلاس، سؤال ۱

در جدول زیر رابطهٔ بین ضلع یک مربع و محیط آن داده شده است. جدول را کامل کنید.

طول ضلع	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$
محیط	$2$	$4$			$20$

نمایش رابطهٔ داده شده را به‌صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسید. چرا این رابطه تابع است؟ دامنه و برد این تابع را بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: محیط مربع چهار برابر ضلع آن است: $P=4a$ . پس برای ضلع $\frac{3}{2}$ محیط $4\times\frac{3}{2}=6$ و برای ضلع $2$ محیط $4\times 2=8$ می‌شود.

گام ۲: در ستون آخر محیط $20$ است، پس $4a=20$ و $a=5$ . جدول کامل شده:

طول ضلع	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$5$
محیط	$2$	$4$	$6$	$8$	$20$

گام ۳: نمایش رابطه به‌صورت زوج مرتب:

f=\left\{\left(\tfrac{1}{2},2\right),(1,4),\left(\tfrac{3}{2},6\right),(2,8),(5,20)\right\}

گام ۴: $f$ تابع است، چون به هر طول ضلع دقیقاً یک محیط نسبت داده شده است. یعنی هیچ دو زوج مرتبی مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت ندارند.

گام ۵: دامنه مجموعهٔ مؤلفه‌های اول و برد مجموعهٔ مؤلفه‌های دوم است:

D_f=\left\{\tfrac{1}{2},1,\tfrac{3}{2},2,5\right\},\qquad R_f=\{2,4,6,8,20\}

جواب نهایی

1) محیط‌های خالی: $6$ و $8$ و ضلع خالی: $5$ ؛ $f=\{(\frac{1}{2},2),(1,4),(\frac{3}{2},6),(2,8),(5,20)\}$ ؛ تابع است چون هر ضلع فقط یک محیط دارد؛ دامنه $=\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,5\}$ و برد $=\{2,4,6,8,20\}$

کار در کلاس، سؤال ۲

الف) تابعی مثال بزنید که دامنهٔ آن سه عضو و برد آن دو عضو داشته باشد.
ب) آیا تابعی وجود دارد که دامنهٔ آن دوعضو و برد آن سه عضو داشته باشد؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: (الف) در تابع، هر عضو دامنه دقیقاً یک مؤلفهٔ دوم دارد، ولی چند عضو دامنه می‌توانند مؤلفهٔ دوم یکسان داشته باشند. پس دامنه‌ای با سه عضو و بردی با دو عضو ممکن است. مثلاً:

f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}

دامنه: $\{1,2,3\}$ (سه عضو) و برد: $\{4,5\}$ (دو عضو). این رابطه تابع است چون هیچ دو زوج مرتبی مؤلفهٔ اول یکسان ندارند. (مثال‌های دیگر هم درست‌اند.)

گام ۲: (ب) تعداد اعضای برد هرگز از تعداد اعضای دامنه بیشتر نمی‌شود، زیرا هر عضو دامنه فقط یک مؤلفهٔ دوم دارد و در نتیجه حداکثر به‌اندازهٔ تعداد اعضای دامنه عضو متفاوت در برد پدید می‌آید.

گام ۳: دامنه دو عضو دارد، پس حداکثر دو زوج مرتب با مؤلفه‌های اول متفاوت داریم و برد حداکثر دو عضو دارد. بنابراین برد سه‌عضوی ممکن نیست. اگر برای یک عضو دامنه دو مؤلفهٔ دوم متفاوت بگذاریم، رابطه دیگر تابع نیست.

جواب نهایی

الف) مثلاً $f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}$ با دامنهٔ $\{1,2,3\}$ و بردِ $\{4,5\}$ (پاسخ‌های دیگر هم ممکن است)
ب) خیر، چنین تابعی وجود ندارد؛ چون تعداد اعضای برد از تعداد اعضای دامنه بیشتر نمی‌شود.

کار در کلاس، سؤال ۳

اگر $f$ تابعی از مجموعهٔ $A$ به مجموعهٔ $B$ باشد، می‌دانیم که دامنهٔ $f$ همان مجموعهٔ $A$ است. آیا همیشه برد تابع $f$ با مجموعهٔ $B$ برابر است؟ مثال بزنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: اگر $f$ تابعی از $A$ به $B$ باشد، هر عضو $A$ دقیقاً یک مؤلفهٔ دوم در $B$ دارد؛ پس دامنه همان $A$ است. اما برد فقط شامل مقادیری از $B$ است که واقعاً به‌عنوان مؤلفهٔ دوم زوج‌ها آمده‌اند؛ بنابراین برد زیرمجموعه‌ای از $B$ است.

گام ۲: ممکن است عضوی از $B$ به هیچ عضوی از $A$ وصل نشده باشد. در این حالت آن عضو در برد نیست و برد با $B$ برابر نخواهد بود.

گام ۳: مثال: $A=\{1,2,3\}$ و $B=\{4,5,6,7\}$ و

f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}

دامنهٔ $f$ برابر $A$ است، ولی برد $f=\{4,5\}$ است که با $B$ برابر نیست (عضوهای ۶ و ۷ در برد نیستند).

گام ۴: البته گاهی برد با $B$ برابر می‌شود (مثلاً اگر $f=\{(1,4),(2,5),(3,6),(3,7)\}$ نبود؛ اما برای تابع $g=\{(1,4),(2,5)\}$ از $\{1,2\}$ به $\{4,5\}$ برد همان $B$ است)، پس برابری «همیشه» برقرار نیست.

جواب نهایی

خیر، همیشه برابر نیست؛ برد زیرمجموعه‌ای از $B$ است. مثال: برای $f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}$ از $A=\{1,2,3\}$ به $B=\{4,5,6,7\}$ ، برد $=\{4,5\}\neq B$ .

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۱۰۱ ریاضی دهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس