حل تمرین صفحه ۱۰۰ ریاضی دهم

گام ۱: معیار تابع بودن: رابطه وقتی تابع است که به هر عضو ورودی، دقیقاً یک خروجی نسبت دهد.

گام ۲: الف) ضلع مربع $a$ باشد، محیط برابر $4a$ است که برای هر $a$ فقط یک مقدار دارد. پس تابع است.

گام ۳: ب) در یک زمان معین، هر فرد فقط یک دمای بدن دارد. پس تابع است.

ج) هر فرد فقط یک گروه خونی دارد. پس تابع است.

گام ۴: د) یک دانش‌آموز می‌تواند چند دوست داشته باشد (مثلاً دو دوست مختلف). پس به یک ورودی چند خروجی نسبت داده می‌شود و تابع نیست.

هـ) برای هر عدد مثبت دو ریشهٔ دوم وجود دارد؛ مثلاً برای ۴ داریم $2$ و $-2$. پس تابع نیست.

گام ۵: و) هر عدد دقیقاً یک ریشهٔ سوم دارد؛ مثلاً $\sqrt[3]{8}=2$ و $\sqrt[3]{-8}=-2$. پس تابع است.

گام ۱: تابع باید هر عضو $A$ را دقیقاً به یک عضو $B$ نسبت دهد؛ یعنی از هر عضو $A=\{a,b,c\}$ دقیقاً یک پیکان خارج شود.

گام ۲ (الف): دو تابع از $A$ به $B$:

• $f_1$: پیکان‌ها $a\to 1$ ، $b\to 1$ ، $c\to 2$
• $f_2$: پیکان‌ها $a\to 2$ ، $b\to 2$ ، $c\to 2$

از هر عضو $A$ فقط یک پیکان خارج شده است، پس هر دو تابع‌اند.

گام ۳ (ب): دو رابطه که تابع نیستند:

• $R_1$: پیکان‌ها $a\to 1$ ، $a\to 2$ ، $b\to 1$ ، $c\to 2$ (از $a$ دو پیکان خارج شده است)
• $R_2$: پیکان‌ها $a\to 1$ ، $b\to 2$ (از $c$ هیچ پیکانی خارج نشده است)

گام ۴ (ج): نمایش با زوج مرتب:

گام ۵: نمودار هر رابطه در صفحهٔ مختصات: نقطه‌هایی با طول از $\{a,b,c\}$ و عرض از $\{1,2\}$ که همان زوج‌های مرتب بالاست. در نمودار $f_1$ و $f_2$ بالای هر طول فقط یک نقطه است. در $R_1$ بالای $a$ دو نقطه $(a,1)$ و $(a,2)$ هست. در $R_2$ بالای $c$ نقطه‌ای نیست.

گام ۱: معیار تابع بودن: در مجموعهٔ زوج‌های مرتب، هیچ دو زوج مرتب متمایزی نباید مؤلفهٔ اول یکسان داشته باشند (هر ورودی فقط یک خروجی داشته باشد).

گام ۲: $f$: مؤلفهٔ اول ۳ در دو زوج $(3,-5)$ و $(3,7)$ با خروجی‌های متفاوت آمده است، پس $f$ تابع نیست.

گام ۳: $g$: مؤلفه‌های اول $0,\ \frac{3}{5},\ -5,\ 8$ همگی متفاوت‌اند (تکرار مؤلفهٔ دوم اشکالی ندارد)، پس $g$ تابع است.

گام ۴: $h$: مؤلفه‌های اول $2, 3, 1$ متفاوت‌اند، پس تابع است. $k$: فقط یک زوج دارد، پس تابع است. $r$: مؤلفه‌های اول $2$ و $-7$ متفاوت‌اند، پس تابع است.

گام ۵: $l$: مؤلفه‌های اول $1,2,3,\dots$ همگی متفاوت‌اند و هر کدام فقط یک خروجی دارد (دو برابر ورودی، یعنی $y=2x$)، پس تابع است.

گام ۱: تابع از $A$ به $B$ یعنی به هر عضو $A$ دقیقاً یک عضو از $B$ نسبت داده شود؛ پس از هر عضو $A$ باید دقیقاً یک پیکان خارج شود (ولی به یک عضو $B$ می‌تواند چند پیکان برسد).

گام ۲: مجموعه‌های غیرعددی انتخاب می‌کنیم. تابع اول: $A=\{\text{سیب، موز، هویج}\}$ و $B=\{\text{میوه، سبزی}\}$.
سیب $\to$ میوه، موز $\to$ میوه، هویج $\to$ سبزی.

گام ۳: تابع دوم: $A=\{\text{علی، رضا، سارا}\}$ و $B=\{\text{تهران، شیراز}\}$ (شهر محل تولد).
علی $\to$ تهران، رضا $\to$ شیراز، سارا $\to$ تهران.

گام ۴: تابع سوم: $A=\{\text{گربه، سگ، کبوتر}\}$ و $B=\{\text{چهارپا، پرنده}\}$.
گربه $\to$ چهارپا، سگ $\to$ چهارپا، کبوتر $\to$ پرنده.

گام ۵: در هر سه نمودار از هر عضو $A$ فقط یک پیکان خارج شده است، پس هر سه تابع‌اند. پاسخ‌های دیگری هم ممکن است.