خلاصه درس فصل ۳ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

گاهی چیزی که می‌بینیم با واقعیت فرق دارد. مثلاً قرصی که اطرافش قرص‌های کوچک‌تری قرار گرفته‌اند، ممکن است بزرگ‌تر به نظر برسد. پس بهتر است میان «به نظرم می‌رسد» و «دلیل دارم» فرق بگذاریم.

در فعالیت کتاب، کشیدن مرز یک قرص و گذاشتن آن روی دیگری راهی برای بررسی حدس اولیه است. در زندگی روزمره هم ممکن است یک آب یکسان، برای دستی که قبلاً در آب سرد بوده گرم‌تر احساس شود.

این مثال‌ها نمی‌گویند دیدن و لمس‌کردن بی‌فایده است؛ حواس به ما کمک می‌کنند سؤال بسازیم و حدس بزنیم. نکته این است که برای اطمینان ریاضی، نباید فقط به ظاهر شکل یا احساس خود تکیه کنیم.

استدلال یعنی از چیزهایی که می‌دانیم استفاده کنیم تا چیزی را که هنوز معلوم نیست، روشن کنیم. اما هر دلیلی به یک اندازه قابل اعتماد نیست.

محسن از باخت‌های قبلی تیمش هنگام حضور او در ورزشگاه، باخت مسابقهٔ بعدی را نتیجه می‌گیرد. این تجربه‌ها شاید باعث نگرانی او شوند، ولی برد و باخت بعدی را قطعی نمی‌کنند. حضور او دلیل تعیین‌کنندهٔ نتیجهٔ مسابقه نیست.

در مقابل، اگر بدانیم علی از حسین بزرگ‌تر است و حسین از حسن بزرگ‌تر است، می‌توانیم نتیجه بگیریم علی از حسن بزرگ‌تر است. این نتیجه از رابطهٔ سن‌ها به دست می‌آید، نه از حدس دربارهٔ نام افراد.

پس هنگام شنیدن یک استدلال بپرس: آیا این دلیل واقعاً نتیجه را به دنبال دارد؟ اگر استدلال، درستی موضوع را نشان بدهد، به آن اثبات می‌گوییم.

فرض کن در چند مثلث، ارتفاع‌ها را رسم کرده‌ای و محل برخوردشان داخل مثلث افتاده است. آیا می‌توانی بگویی این اتفاق در هر مثلث می‌افتد؟ نه؛ هنوز مثلث‌های دیگر را بررسی نکرده‌ای.

برای رد این ادعا کافی است یک مثلث منفرجه پیدا کنی: محل برخورد خط‌های شامل ارتفاع‌های آن بیرون مثلث است. چنین نمونه‌ای را مثال نقض می‌نامیم. دربارهٔ عمودمنصف‌ها هم در مثلث منفرجه، محل برخورد بیرون مثلث قرار می‌گیرد. پس چند نمونهٔ موافق، یک ادعای همیشگی را اثبات نمی‌کنند؛ ولی یک نمونهٔ مخالف می‌تواند آن را رد کند.

اندازه‌گیری هم جای اثبات کلی را نمی‌گیرد. اگر احمد زاویه‌های یک مثلث متساوی‌الساقین را با نقاله برابر ببیند، فقط همان شکل را با دقت محدود ابزار بررسی کرده است. برای نتیجه‌گیری دربارهٔ همهٔ مثلث‌های متساوی‌الساقین، به دلیل ریاضی نیاز داریم.

پیش از شروع اثبات، مسئله را به دو بخش جدا کن: فرض یعنی چیزی که به تو داده‌اند؛ حکم یعنی چیزی که باید درستی‌اش را نشان بدهی. بعد، دانسته‌های قبلیِ مرتبط را پیدا کن تا از فرض به حکم برسی.

مثلاً در مسئلهٔ «زاویه‌های روبه‌روی لوزی برابرند»، فرض این است که شکل لوزی است؛ برابری زاویه‌ها حکم است، نه دادهٔ مسئله. برای رسیدن به حکم از دو دانسته کمک می‌گیریم: لوزی نوعی متوازی‌الاضلاع است و زاویه‌های روبه‌روی متوازی‌الاضلاع برابرند.

این کار شبیه پیدا کردن مسیر است: فرض، نقطهٔ شروع؛ حکم، مقصد؛ و دانسته‌های قبلی، راه‌های مجاز رسیدن به مقصد هستند. نمی‌توانیم مقصد را از همان ابتدا جزو داده‌ها حساب کنیم.

در اثبات، هر ادعا باید پشتوانه داشته باشد: یا دادهٔ مسئله باشد، یا از یک تعریف یا نتیجهٔ معتبر به دست بیاید. ظاهر شکل، به‌تنهایی پشتوانه نیست.

فرض کن در چهارضلعی $ABCD$، پاره‌خط $AC$ نیمساز زاویهٔ $A$ است و $AB=AD$. از نیمساز بودن فقط می‌توانیم برابری دو زاویه در رأس $A$ را نتیجه بگیریم: $\angle BAC=\angle CAD$. این داده چیزی دربارهٔ نصف شدن زاویهٔ $C$ نمی‌گوید.

برای هم‌نهشتی مثلث‌های $ABC$ و $ADC$، ضلع مشترک $AC$ را هم داریم. پس دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها برابر است و حالت «ض ز ض» به کار می‌آید. عادت خوب این است که کنار هر برابری بپرسی: این را از کجا می‌دانم؟

تعمیم یعنی نتیجه‌ای را که برای یک عضو ثابت کرده‌ایم، به اعضای دیگر هم گسترش بدهیم. این کار زمانی مجاز است که همهٔ شرط‌های استفاده‌شده در اثبات، برای آن‌ها هم برقرار باشد.

در مثلث متساوی‌الساقین، نیمساز زاویهٔ بین دو ساق، میانه هم هست؛ چون دو ساق برابر، دو زاویهٔ برابر و یک ضلع مشترک، هم‌نهشتی می‌سازند. برای نیمساز یک زاویهٔ دیگر، معمولاً همان برابری ضلع‌های لازم را نداریم؛ پس نتیجه خودکار منتقل نمی‌شود.

اما در مربع، برای هر دو قطر می‌توان از برابری ضلع‌ها و هم‌نهشتی استفاده کرد؛ بنابراین هر قطر، زاویه‌های دو سرش را نصف می‌کند. همچنین برای نقطه‌ای دلخواه روی عمودمنصف، وسط بودن محل برخورد، عمود بودن و ضلع مشترک پابرجاست؛ پس اثبات برابری فاصله‌ها به انتخاب نقطه وابسته نیست.

یک اثبات عمومی، شکل را دلخواه انتخاب می‌کند و به ویژگی خاصی مثل متساوی‌الاضلاع بودن تکیه نمی‌کند. برای مجموع زاویه‌های مثلث، از یک رأس خطی موازی ضلع مقابل رسم می‌کنیم. زاویه‌های حاصل از خطوط موازی، سه زاویهٔ مثلث را کنار هم روی یک زاویهٔ نیم‌صفحه قرار می‌دهند؛ پس مجموعشان $180^\circ$ است.

در اثبات زاویه‌های متقابل به رأس هم از یک قانون عمومی استفاده می‌کنیم. اگر دو زاویه هر کدام با زاویهٔ مشترکی مجموع $180^\circ$ بسازند، با کم کردن آن زاویهٔ مشترک، برابری‌شان به دست می‌آید.

این منطق در زندگی هم آشناست: اگر پول دو نفر، پس از اضافه شدن مبلغ یکسان، برابر شود، پول اولیهٔ آن دو نیز برابر بوده است. نکتهٔ اصلی، حذف مقدار یکسان از دو مقدار برابر است.

بین ثابت کردن «همه» و رد کردن «همه» تفاوت مهمی وجود دارد. چند نمونهٔ درست، یک ادعای عمومی را ثابت نمی‌کند؛ اما یک مثال نقض برای رد کردن آن کافی است.

چندضلعی محدب باید این ویژگی را داشته باشد: پاره‌خط وصل‌کنندهٔ هر دو نقطهٔ درون آن، کاملاً درون شکل بماند. دیدن یک پاره‌خط که درون شکل مانده، کافی نیست؛ ولی پیدا کردن یک جفت نقطهٔ داخلی که پاره‌خط میانشان از شکل بیرون برود، محدب بودن را رد می‌کند.

مراقب برعکس کردن رابطه‌ها هم باش! هر مربع مستطیل است، ولی هر مستطیل مربع نیست. همچنین مربع نبودن، برابری ضلع‌ها را رد نمی‌کند؛ یک لوزیِ غیرمربع مثال نقض است. در مقابل، اگر ضلع‌ها همه برابر نباشند، شکل قطعاً مربع نیست.

دو مثلث هم‌نهشت، شکل و اندازهٔ یکسان دارند؛ یعنی می‌توان یکی را جابه‌جا کرد یا برگرداند تا دقیقاً بر دیگری منطبق شود. برای اثبات این موضوع لازم نیست همهٔ ضلع‌ها و زاویه‌ها را جداگانه بررسی کنیم.

سه حالت آشنا را به یاد بیاور: ضلع–ضلع–ضلع، ضلع–زاویه–ضلع و زاویه–ضلع–زاویه. در حالت دوم، زاویه باید بین دو ضلع باشد؛ در حالت سوم، ضلع باید بین دو زاویه باشد. در مثلث‌های قائم‌الزاویه، دو حالت ویژه هم داریم: وتر و یک ضلع، یا وتر و یک زاویهٔ تند.

نماد $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ علاوه بر هم‌نهشتی، تناظر رأس‌ها را هم نشان می‌دهد: $A\leftrightarrow D$، $B\leftrightarrow E$ و $C\leftrightarrow F$.

هم‌نهشتی یک پل است: از چند تساویِ معلوم عبور می‌کنیم و به تساوی‌های تازه می‌رسیم. اول باید فرض، یعنی داده‌های مسئله، را از حکم، یعنی چیزی که باید ثابت شود، جدا کنیم.

در مدل رحل، دو پاره‌خط $AB$ و $CD$ در $O$ یکدیگر را قطع می‌کنند و داریم $OA=OB$ و $OD=OC$. زاویه‌های $AOD$ و $BOC$ متقابل به رأس‌اند؛ پس برابرند. بنابراین $\triangle OAD\cong\triangle OBC$ به حالت ضلع–زاویه–ضلع، و در نتیجه $AD=BC$.

دقت کن که در این تناظر، $A$ با $B$ و $D$ با $C$ جفت می‌شود. برابر دانستن ضلع‌ها از روی جای آن‌ها روی کاغذ قابل اعتماد نیست؛ ترتیب رأس‌های متناظر راهنمای ماست.

برای اثبات برابری دو طول، همیشه لازم نیست مقدارشان را حساب کنیم. گاهی هم‌نهشتی راه کوتاه‌تری است. در پل نیم‌دایره‌ای کتاب، $AB$ قطر دایره است و نقطه‌های $C$ و $D$ روی کمان آن قرار دارند. زاویه‌ای که از روی محیط، قطر را می‌بیند، قائمه است؛ پس مثلث‌های $ACB$ و $BDA$ قائم‌الزاویه‌اند.

این دو مثلث، وتر مشترک $AB$ دارند. همچنین طبق دادهٔ مسئله، $BC=AD$ است. پس با حالت وتر و یک ضلع هم‌نهشت‌اند و ضلع‌های باقی‌مانده، یعنی $AC$ و $BD$، برابر می‌شوند.

فیثاغورس مقدار طول‌ها را می‌دهد، اما هم‌نهشتی می‌تواند برابری آن‌ها را بدون محاسبه نشان دهد. در مثال حل‌شده، هر دو راه را مقایسه می‌کنیم.

گاهی مثلث‌های لازم هنوز در شکل دیده نمی‌شوند؛ باید با یک خط کمکی آن‌ها را بسازیم. در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، قطر $BD$ دو مثلث $ABD$ و $CDB$ را ایجاد می‌کند.

از $AB\parallel CD$ داریم $\angle ABD=\angle CDB$ و از $AD\parallel BC$ داریم $\angle ADB=\angle CBD$؛ این‌ها زاویه‌های داخلی متناوب‌اند. ضلع $BD$ هم مشترک است. پس دو مثلث به حالت زاویه–ضلع–زاویه هم‌نهشت‌اند و نتیجه می‌گیریم $AB=CD$ و $AD=CB$.

نکتهٔ مهم این است که برابری ضلع‌های مقابل، حکم بود؛ نمی‌توانستیم از ابتدا آن را برای اثبات هم‌نهشتی به کار ببریم. از همین تناظر، برابری زاویه‌های مقابل متوازی‌الاضلاع هم نتیجه می‌شود؛ برای دو زاویهٔ دو سر قطر، بخش‌های برابر را جمع می‌کنیم.

در تمرین‌های هم‌نهشتی، دنبال مثلث‌هایی بگرد که ضلع مشترک یا داده‌های قابل تبدیل به تساوی دارند. مثلاً «وسط بودن» یعنی دو نیمه برابرند؛ در لوزی نیز همهٔ ضلع‌ها برابرند. این اطلاعات می‌توانند ضلع‌های لازم برای یک حالت هم‌نهشتی را فراهم کنند.

در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ با $AB=AC$، اگر $M$ وسط $BC$ باشد، مثلث‌های $AMB$ و $AMC$ با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند: دو ساق برابر، دو نیمهٔ قاعده برابر و $AM$ مشترک است. پس $AM$ نیم‌ساز زاویهٔ $A$ است. زاویه‌های دو طرف $AM$ در $M$ نیز برابر و مکمل‌اند؛ بنابراین هر دو قائمه‌اند.

همین نگاهِ «پیدا کردن دو مثلث مناسب» در اثبات برابری قطرهای مستطیل و برابری دو مماس از یک نقطه هم کاربرد دارد.

وقتی مسئله‌ای هندسی می‌بینی، لازم نیست فوراً فرمولی پیدا کنی. اول مشخص کن هر عبارت چه معنایی دارد. مثلاً «فاصلهٔ نقطه تا خط» یعنی طول پاره‌خطی که از آن نقطه بر خط عمود می‌شود، نه طول هر مسیر دلخواه تا خط.

بعد، اگر شکل نداری، یک شکل ساده بکش و نام نقطه‌ها را روی آن بنویس. اطلاعاتی مثل عمود بودن را با علامت مشخص کن. در مسئلهٔ روستاها، دو روستا را با $A$ و $B$، جاده را با $d$ و محل برخورد آن با مسیر روستاها را با $M$ نشان می‌دهیم. شکل کمک می‌کند ارتباط‌ها را ببینی، اما ظاهر آن جای دلیل را نمی‌گیرد.

حالا اطلاعات مسئله را به دو دسته تقسیم کن: «چه می‌دانم؟» و «چه باید ثابت کنم؟» دستهٔ اول فرض است و دستهٔ دوم حکم. این جداسازی جلوی یک اشتباه مهم را می‌گیرد: اینکه چیزی را که باید ثابت کنیم، از ابتدا درست فرض کنیم.

در مسئلهٔ روستاها، وسط بودن $M$ یعنی $MA=MB$. همچنین پای عمودهای دو روستا روی جاده را $H$ و $H'$ می‌نامیم؛ پس $AH\perp d$ و $BH'\perp d$. اینها داده‌های ما هستند. اما $AH=BH'$ خواستهٔ مسئله است و هنوز به دلیل نیاز دارد. می‌توانی روی کاغذ دو ستون «فرض» و «حکم» بسازی تا مسیر فکرت روشن‌تر شود.

پس از شناخت فرض و حکم، باید پلی میان آنها بسازی. اگر خواسته، برابری دو پاره‌خط است، بپرس: «آیا این دو پاره‌خط، ضلع‌های دو مثلث مناسب‌اند؟» اگر بتوانی آن مثلث‌ها را هم‌نهشت کنی، برابری ضلع‌های متناظر به دست می‌آید.

در مسئلهٔ روستاها، مثلث‌های $AHM$ و $BH'M$ مناسب‌اند. هر دو قائم‌الزاویه‌اند و وترهایشان، یعنی $AM$ و $BM$، برابرند. زاویه‌های آنها در $M$ نیز متقابل به رأس‌اند. پس می‌توان از حالت «وتر و یک زاویهٔ حاده» استفاده کرد. هنگام نوشتن نتیجه، ترتیب رأس‌ها را جدی بگیر: $A$ متناظر با $B$، و $H$ متناظر با $H'$ است. فقط شبیه بودن ظاهر دو مثلث، هم‌نهشتی را ثابت نمی‌کند.

در مسئله‌های دایره نیز همان قدم‌ها را دنبال می‌کنیم، اما ابزار مناسب ممکن است رابطهٔ وتر و کمان باشد. وتر، پاره‌خطی است که دو نقطهٔ روی دایره را به هم وصل می‌کند؛ کمان، بخشی از محیط دایره بین آن نقطه‌هاست. در یک دایره، برابری دو وتر و برابری کمان‌های نظیرشان به یکدیگر راه می‌دهند. دقت کن کمان‌های نظیر را با انتخاب یکسان، مثلاً هر دو کمان کوچک، در نظر بگیری.

گاهی برای رسیدن به حکم باید چند رابطه را پشت سر هم به کار ببری: از وترهای برابر به کمان‌های برابر بروی، به هر دو کمان یک کمان مشترک اضافه کنی و دوباره به برابری وترها برگردی. بنابراین لازم نیست همیشه مستقیم از فرض به حکم برسی؛ نتیجه‌های میانی می‌توانند راه را باز کنند.

شباهت در هندسه فقط به معنی «شبیه به نظر رسیدن» نیست؛ شرط مشخصی دارد. دو چندضلعی وقتی متشابه هستند که ضلع‌های متناظرشان با یک نسبت تغییر کرده باشند و زاویه‌های متناظرشان برابر باشند. متناظر یعنی بخش‌هایی که در دو شکل، نقش یکسانی دارند؛ مثل ضلع بالایی یک تصویر و ضلع بالایی نسخهٔ بزرگ‌شدهٔ آن.

دستگاه کپی را تصور کن: اگر تصویر را درست کوچک کند، همهٔ طول‌ها به یک نسبت کم می‌شوند، اما زاویه‌ها عوض نمی‌شوند. در مقابل، کشیدن تصویر فقط در جهت افقی، معمولاً تشابه را از بین می‌برد. پس برای بررسی تشابه، هر دو شرط را بررسی کن: نسبت یکسان ضلع‌های متناظر و برابری زاویه‌های متناظر.

وقتی مطمئن شدیم دو شکل متشابه‌اند، نسبت طول یک ضلع به طول ضلع متناظر آن را نسبت تشابه می‌نامیم. مهم است که ترتیب را روشن کنیم: نسبت شکل اوّل به شکل دوم یعنی طول ضلع شکل اوّل در صورت و طول ضلع متناظر شکل دوم در مخرج قرار بگیرد. اگر ترتیب را برعکس کنیم، نسبت هم معکوس می‌شود.

در دو چندضلعی متشابه، فرقی ندارد کدام جفت ضلع متناظر را انتخاب کنیم؛ نسبت‌ها برابرند. البته باید طول‌ها را با یک واحد بنویسیم. مقیاس نقشه هم همین فکر را به کار می‌گیرد: نسبت فاصلهٔ روی نقشه به فاصلهٔ واقعی را نشان می‌دهد. برای تبدیل فاصلهٔ نقشه به فاصلهٔ واقعی، باید ترتیب این نسبت را درست بخوانیم.

حالا می‌توانیم دربارهٔ خانواده‌های شکل‌ها قضاوت کنیم. هر دو مربع متشابه‌اند: همهٔ زاویه‌هایشان قائمه است و نسبت هر جفت ضلع متناظر، همان نسبت طول ضلع دو مربع است. هر دو مثلث متساوی‌الاضلاع هم متشابه‌اند؛ زاویه‌هایشان برابر است و ضلع‌های متناظرشان نسبت یکسان دارند.

اما نام مشترک کافی نیست! دو مستطیل ممکن است نسبت طول به عرض متفاوتی داشته باشند. دو لوزی هم ممکن است زاویه‌های متفاوتی داشته باشند. متساوی‌الساقین بودن دو مثلث نیز به‌تنهایی تشابه را تضمین نمی‌کند.

همنهشتی حالت ویژه‌ای از تشابه است. در دو شکل همنهشت، هم زاویه‌های متناظر و هم طول ضلع‌های متناظر برابرند؛ پس نسبت تشابه برابر با $1$ است. بنابراین هر دو شکل همنهشت متشابه‌اند، ولی هر دو شکل متشابه لزوماً همنهشت نیستند.